Metodo di Gauss-Chio per la risoluzione di sistemi lineari

Metodo molto rapido e semplice per la risoluzione dei sistemi lineari

B

Di Amerigo Ichi

Con un procedimento analogo a quello seguito per ricavare il metodo di Chiò per il calcolo di un

determinante, si può ottenere un algoritmo semplice per la risoluzione dei sistemi lineari, utilizzando anche

in questo caso solo determinanti del 2° ordine.

Si può infatti dimostrare che il sistema:

+ + + + =

⎧ K

K

a x a x a x a x b

11 1 12 2 13 3 1 1

n n

⎪ + + + + =

K

K

a x a x a x a x b

⎪ 21 1 22 2 23 3 2 2

n n

⎪ + + + + =

⎨ K

K

a x a x a x a x b

31 1 32 2 33 3 3 3

n n

⎪

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

⎪

⎪ + + + + =

K

K

⎩ a x a x a x a x b

1 1 2 2 3 3

m m m mn n m

È equivalente al sistema

+ + + + =

⎧ K

K

a x a x a x a x b

11 1 12 2 13 3 1 1

n n

⎪ ( )

+ + + =

1 ( 1 )

( 1 ) ( 1 ) K

a x a x a x b

⎪ 22 23

2 3 2 2

n n

⎪ a a a b

( )

( ) ( ) ( ) = =

+ + + = ( 1 )

( 1 ) 11 1 11 1

1 1 1 1

⎨ k

K ove e

a b

a x a x a x b

32 33 3 n hk

2 3 3

n h a b

a a

⎪ 1

1 h h

h hk

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

⎪

⎪ ( ) ( )

+ + + = ( 1 )

1 1 ( 1 )

K

a x a x a x b

⎩ 2 3

m m mn

2 3 n m

del 2° ordine della matrice completa del sistema ( deve essere diverso da

sono tutti i minori orlati di a a

11 11

zero e 2 ≤ ≤ m, 2 ≤ k ≤ n).

Dimostrazione

Dato il sistema

+ + + + =

⎧ K

K

a x a x a x a x b

11 1 12 2 13 3 1 1

n n

⎪ + + + + =

K

K

a x a x a x a x b

⎪ 21 1 22 2 23 3 2 2

n n

⎪ + + + + =

⎨ K

K

a x a x a x a x b

31 1 32 2 33 3 3 3

n n

⎪

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

⎪

⎪ + + + + =

K

K

⎩ a x a x a x a x b

1 1 2 2 3 3

m m m mn n m

se diverso da zero, altrimenti si scambia la prima equazione con un’altra che

si divide la prima riga per a 11,

ha il coefficiente di diverso da zero.

x 1

Si ottiene:

⎧ a a

a b

+ + + + =

K

K

13 1

12 1

n

x x x x

⎪ 2 3

1 n

a a a a

⎪ 11 11 11 11