Metodi numerici - esercizi svolti

Anno accademico 2019-2020 - Metodi numerici - Unimore

Indice

• Lezione 1 - 1
• Lezione 2 - 5
• Lezione 3 - 12
• Riassunto lez.1,2,3 - 22
• Lezione 4 - 24
• Lezione 5 - 33
• Riassunto lez.4,5 - 40
• Lezione 6 - 42
• Lezione 7 - 47
• Lezione 8 - 57
• Lezione 9 - 62
• Riassunto lez.6,7,8,9 - 68
• Lezione 10 - 70
• Riassunto lez.10 - 74
• Lezione 11 - 75
• Lezione 12 - 77
• Lezione 13 - 98
• Lezione 14 - 110
• Lezione 15 - 118
• Lezione 16 - 121
• Lezione 17 - 132
• Riassunto lez.16,17 - 139
• Lezione 18 - 141
• Lezione 19 - 146
• Lezione 20 - 151
• Ottimizzazione 1 - 155
• Ottimizzazione 2 - 160
• Ottimizzazione 3 - 162
• Ottimizzazione 4 - 170
• Ottimizzazione 5 - 174
• Ottimizzazione 6 - 176
• Ottimizzazione 7 - 180
• Ottimizzazione 8 - 182
• Ottimizzazione 9 - 185

Esercizi - Lezione 1

Definizioni e notazioni

I Per ciascuna delle seguenti equazioni differenziali: specificare l'ordine, se è lineare o non lineare, se è omogenea o non omogenea e se è scritta in forma autonoma (se non dipende esplicitamente dalla variabile t).

• U'' - U² + 4 ⇒ non lineare, non omogenea, forma autonoma
• (U'')³ - sin(t) = U ⇒ non lineare, non omogenea, no forma autonoma
• U' + 2t - t = 0 ⇒ lineare, non omogenea, no forma autonoma
• U' = t³ / U ⇒ NO L., NO O., NO F.A.
• U' - 1 / t U = U ⇒ L., O., F.A.
• U' - sin(t) + 4U = 4 ⇒ L, NO O., NO FA
• U t² + U' + 2t U = 2 ⇒ L, NO O., NO FA
• U' = - t U³_{1 + 2t⁴} ⇒ NO L, O., FA
• - U'' - U = 2 ⇒ NO L, O., FA
• - U''' - U = U ⇒ L, O, FA
• U''' + U' = U + 1 ⇒ L, NO O., FA

II Per ciascuna delle equazioni lineari di (I) scrivere l'operatore differenziale associato e verificarne la proprietà di linearità.

• U' + 2t - t = 0 ⇒ U' + 2t = t ⇒ L(U) = U' + 2U
• L(αU + βU') = (αU + βU') + 2(αU + βU') = αU' + βU' ² + 2αU + 2βU = α(L(U) + 2U) + β(L(U) + β(L(U)))
• U' - 1 / t U = U ⇒ L(U): U' - 1 / t U
• U' = 0 ⇒ L(U): U' - 1 / t U
• L(αU + βU') = (αU + βU') ^-1 (αU + βU')
• αU' + βU' ^-1 / t αU - 1 / t βU = α(U' - 1 / t U) + β(U' - 1 / t U) = αL(U) + βL(U)
• U'' - sin(t) * U ⇒ U'' - sin(t) ⇒ L(U) = U'' - U
• L(αU + βU') = (αU + βU')'' - αU + βU' = α(U'' - U) + β(U'' - U') = αL(U) + βL(U')
• U'' = U'' - 2t ⇒ U'' - 2t = 2t ⇒ L(U) = U'' - 4t²
• L(αU + βU') = (αU + βU')'' = αU'' + βU' = αU'' + 2 - βU'' + 2t = α(U'' - 4U² - 2t²) = αL(U) + βL(U')
• U'' = u'' + U ⇒ U = U'' + U ⇒ L(U) = U'' - U
• L(αU + βU') = (αU + βU')'' = (αU + βU')' = α(U'' - U) + β(U'' + U') = αL(U) + βL(U)

Principio di sovrapposizione

Se u₁(t), u₂(t), …, uₖ(t) sono soluzioni dell'equazione omogenea L(U) = 0, allora ogni loro combinazione lineare α₁u₁(t) + α₂u₂(t) + … + αₖuₖ(t) è soluzione di L(U) = 0.

Dimostrazione

Considerando un'equazione differenziale lineare omogenea L(U) = 0:

• Considerando t(t): soluzioni di L(U) = 0
• Sapendo L(αU') = αL(U) = 0, allora αU(t) è soluzione di L(U) = 0
• Considerando u₁(t) e u₂(t): soluzioni di L(U) = 0
• Sapendo L(u₁ + U) = L(u₁) + L(u₂): 0 + 0 = 0
• U₁(t) + U₂(t): soluzione di L(U) = 0

Combinando le due proprietà, si ha che anche L(u₁(t) + α₂u₂(t)) (combinazione lineare) è soluzione di L(U) = 0.

Sistemi differenziali

Scrivere i sistemi seguenti nella forma U' = f(t, U), oppure, se lineari, nelle forme U' = AU oppure U' = AU + g. Specificare gli elementi dei vettori U, U', f, g e della matrice A.

1. u'(t) = -u'(t) + u'(t) + cos(t)² = 0
2. v'(t) = 3e^t - 2u(t) = e^u(t)