Metodi della Fisica matematica

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Trasformata di Laplace e sue proprietà. Applicazioni alla soluzione di problemi di valore iniziale e al contorno per le equazioni a derivate parziali. Elementi di Meccanica …

Esame Metodi della Fisica Matematica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. De Lillo Silvana

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2016-2017

66 pagine

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Estratto del documento

Soluzioni di equazioni alle derivate parziali con trasformata di Laplace

Definizione della trasformata di Laplace

Definizione: Sia \( f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} \). La trasformata di Laplace di \( f(t) \) è data da: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \] Questa trasformata esiste se: \[ \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt < \infty \] per qualche valore reale di \( s \) con \( s > 0 \).

Definizione: \( f(t) \) si dice esponenziale di ordine \(\beta\) per \( t \rightarrow \infty \) se esiste un \( M > 0 \) tale che: \[ e^{\beta t}|f(t)| < M \quad \text{per } t \geq N, \, s > \beta \] (equivalentemente \(|f(t)| < Ke^{\alpha t}\)).

Condizione sufficiente per l'esistenza della trasformata di Laplace

Se \( f(t) \) è continua a tratti e esponenziale di ordine \(\beta\) per \( t \rightarrow \infty \), allora per \( N \) e \( s > \beta \): \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt = F(s) \] Dove \( t \) è la variabile di integrazione e \( s \) è un parametro positivo reale.

Proprietà della trasformata di Laplace

Moltiplicazione per costante: \( \mathcal{L}\{ c_1 f(t)\} = c_1 \mathcal{L}\{f(t)\} = c_1 F(s) \quad \forall c_1 \in \mathbb{R} \)
Additività: Se \( F_1(s) = \mathcal{L}\{f_1(t)\} \) e \( F_2(s) = \mathcal{L}\{f_2(t)\} \), allora \( \mathcal{L} \{ f_1(t) + f_2(t) \} = F_1(s) + F_2(s) \)
Combinazione lineare: \( \mathcal{L} \{ c_1 f_1(t) + c_2 f_2(t) \} = c_1 F_1(s) + c_2 F_2(s) \)

Teorema di traslazione

Se \( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} \), allora:

\( e^{at}f(t) = F(s-a) \quad \forall s > a \)
\( \mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s+a) \quad \forall s \)

\(\Delta\)

\( \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt = F(s) \quad \text{sia } s > \beta \, 0 \)
\( \mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} f(t) \, dt = \int_0^{\infty} e^{-st} e^{at} f(t) \, dt \)

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