Metalli ed elettroni liberi

Introduzione al modello di Drude

x̅²=⟨x²s(K) Nota il Drude_Cuiv posso conoscere t Esempio: Cu, λ = 600 w&Lambda;_s Cu FDmK Λ_s = 600 m/sa = 0,96λ_sAl_isotropi = 10³⁷ s_E ∑ kT = 3 R Erens e Deby = ∑s attivo Cu v² n = ⟨D⟩^pm_atomo Cu = 3 R1 = m == m Am = ⎯⎯⎯λ_sCu v = λ_sCu ⟨D⟩ o 4 3 ⎯ = 8.5 10²² atomi/m³βk3⊃− 3·λ ≈ √^6.003 ◯ ⊃&lambds;=3 l.s3 ⊕⊃= 3Ouvre ≈⎯⎯⎯≈ 9°⎯⎯l.s⦙⦦jJ·=∼1Ô = 3 Ls≈⎯⊕ ground = −√^{4π1 d ≈ ⎯⎯}7   11 i=0.3 λ μsΘ_{i = 100 m.l} Ordine di grandezza dei processi fisici sono 11 ns (dati: 3 ÷ 100 mκs) Approssimazione di stato stazionario corrente METALLI ed elettroni etc:λ N1... pd metalli E ogni atomo del gas metallo dedalico un elettrone e stabilizza la struttura Spazio di modello: Au[βc = +][πγo]+[G]ππ_z(z)=e equilibrio di forza nucle (Ze) modello di PDrude&bpi;_l.e(+v)3≥— T —2π′ωμn = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯◯ —core Vibo stazionamento T_α” tempo tra un urto eπΘ Il de dο−→1−⎯⎯&pro; Denso di probabilitʔ che avvenge un urto∑¹Δt = Probabilit&model; μrto τπR = d (R_s) Miscuglio di D_s, C_m posso conoscere z Esempio: C_u, λ = 600 W mK λ_s = 600 m/s F_D C_m a = 0,9 √c_D = 1 nm U_termali ≅ 10 J ₓ a Emissione di D_fs = D_s sistema C_u = λ λ' C_m = C_m nucleo V C_V 3R m/ole= V V VV V C1 3 kg·Å/m/mole 3/kg N 3/kg m N 3,31·₍₋₉₎ 8,5₍₋₉₎ = 3 · 10^ₕ m = A V 8,5 · 10^₋₂₅ atomi/m³= m/3 = 3/36 · 600 = (0,36 10^₋₉)² = 40 . s = 100 m s Ordine di grandezza dei processi fisici: sono di nS ( ~ da 1 a 100ms ) Approssimazione di stato stazionaria corrente METALLI ed elettroni e-b;^(G_emale A 3 3/2 per tutti metalli Ogni atomo del/agame metallica debalizza un elettrone e stabilizza la struttura An 5A10^₋₂₀ G₃ Spazio di madre ρ₁ (z) ρ₂(z) e B^aselettroni nucleoe/b_e (Core) Modello di P. Drude (1900) di S. J. Thomson 1887: scoperta dell’elettrone modello cinetico degli elettroni: Integr. interpretazione → interazione = più robusta rispetto alla 2^a Rerrel ripartizione = e core2,^‿t = 0⅋ = τ⌄∫ + e**^⌂ = 0 Esempio: P_Jcoerent^⁰ con il modello sperimentale Problemi del modello: v_s = 10⁵ m/s v_drift 10 m/s¹/_τ = tempo di rilassamento al sum di interruzione di forni equilibrio degli elettroni che conono al tornare verso uno stato di equilibrio → per diventare macroscopico Δx = dimensione fisica dell'oggetto Pregi del modello. Modello molto semplice ∑ = ^{v_drift • Δt}/_eE formalmente¹/_τ = γv_s = 10⁵ m/s = ∑ di forze esterne In presenza di campi elettrici. ^d( <r⊂i⊃> )/_dt = e/m E(t)    < &bar;j⊂d⊃> = 0 → per stato stazionario E = -eE<r⊂i⊃> = e/m EE - eE = > 1 <r⊂i⊃> = &bar;d drif J = ^{me • e • E}/_m &left; di = e/m I• E = 1 – 10 ^-19 ⊃, 10 ^-14 = I•E = 10 ^-7 I•Δ_V/m1 metro di conduttore → | E•= ΔV = 100 V/m  &bar;di⊃> = 10 ⊃-2 • 10 ⊃2  &bar;10molto piccole iv visto che b in un a selezione provoca unlilia effetto macroscopico → il te io portadi carico.

Proprietà e caratteristiche del modello di Drude

----------------  ---------------- J = oV Se ℰ̅_ω periodica nel tempo:σ₀ = 0 d.c.σ_d ≠ 0 a.c. Dipendenza armonica temporale, campo elettrico omogeneo nello spazio→ equazione ai pacchetti d’onda Se ℰ̅ storica nello spazio e nel tempo: Esempio: onda elettromagnetica onda e.m. ha sia campo elettrico che magnetico→ possiamo trascurare gli effetti del campo magnetico dipendenza spaziale ad : legge di dispersione per un gas di elettroni ω = ω(k)_{plasma di elettroni4π miscela di cariche positive e negativela miscela è neutra in equilib} Come devono entrare ω e k definiti al fondo propagato nel mezzo? Eq. di Maxwell nella materia_{➔ Scompattiamo} E = E₀ e^-iωt∇ · D = 0 → cariche compensate ∇ · B = 0 → non esiste il monopolo magnetico ∇ × E = - ∂B/∂t ∇ × H = j_e ∇ × E = iωE = - ∂A/∂t ∇ × ( ∇ × E ) = - ω² ( ε E ) ∇ · εE = 0 ∇ × ( εE ) = iωμH = ( ε E )_{Approssimiamo} χ_e, di elettroni liberi e tempi pendenti, quindi non c'è polarizzazione magnetica ε(ω) = ε₀ ∫ε E_d.e.(ω)_{nel mezzo degli elettroni liberi e tempi pendenti}  j_e = ∑Z E i ω ε = - ∇ Approxxxxxx Gxxxxxx _ε(ω) libe, aprissxx eiiμ_ε0 = 1/C₀ Eq di Helmholtz➔ legge di dispersione K² = ω² Ε(ω) / c² Ε(ω) = 1 + iσ(ω) / ε₀ω Nel vuoto:σ(ω) = 0 → Ε(ω) = 1 K² = ω² / c² ω = ck Nel gas di elettroni: K² = K₀ Ε(ω) → ℏ = K₀ / Ε(ω) = K₀ M(ω)_x Indici:n = c / NM(ω) = σ(ω) / (σ(ω) + iωε₀) Ε(ω) = 1 + ^me2 / (ε₀mc²) Ε(ω) = 1 - ^me2 / (ε₀mc²) Ε(ω) = ε_c(ω) + iΕ(ω) ε_c = parte immaginari e parte complessa della funzione Π(^ω2E2c2) = trascurabileΌ: (piccolo)(ℏ ~ KΛ; β ~ 0) A1) ωp = ωq ≠ dω/ dk mezzo dispersivo 2)dω/ dk |_k=0 = cL/√(ωp² + cL²k²) ωp(k) = cL (cL - k) quindi non può esistere un punto angoscato vg = 0 = non c'è propagazione k = 0 ⟹ λ = ∞π/λ_t = ω/c tE = E₀ e^i(kx-ωt)⟹ non dipende dalla λ gaσία Oscillazione collettive dei gas di elettronidensità di carica praticamente imparzano Per c.c.t. espa%ione di caricarisottuo alla anchivalutati finale Analogco ad un condensatore E₀ Σ = MΣ x e | = MΣ x ↑ interne ↑ normale ε₀ εadmeso di caris Sic.algamemento locale di carica genora un campo elettrico Fe ↔ m x (̄=) / Σ d²x/ dt² + e E₀ x_i d²x/ dt² + e E_g x = 0 x(t) = x_o ε^iωt Abbiamo preso ∇ ⋅ ∇ Φ = ρ _{cariche liberate} adesso ho espansione di cariche quindi ρ_totale Modo collettivo quando: ˂ο_pl˃ → modo collettivo → PLASMONI DI VOLUME E _Hz (ω)_HF = 1 − ω_pl ² = 0^{ω_pl ²}˃Ɛ(ω)ˆƐ(ω)→condizione di plasmoniˌ nel metodo del lotto generale:∇ x E = ∅ ^dB_dt∇ ⋅ B = 0∇ x H = ^ρ₀ ^dE_dt divergenza del rotore sempre nulla 0 = ∇ ⋅ dE/deq. di continuità Introduzione di carica compensata da unadimensione del correnteǻƐE = ^ρ(t)_ε non al prole del neatro ρ(t) = ρ₀e−iωt Se ^Nj_Ɛ ciancezione∆NjnjǍ(Ϋt250;00) OR ρ(t) = ρ₀e−iωtdEάtǍ ↑ Se ^ɘ_pl non ha propagazione &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note &h Note ν UV metavisello Plasma Come si possono eccitare i plasmoni? ω = √ω_p² + c²k²ω = ck Se gioca particella: k, E Emozione particolare: k_E, εε_p = k_Eκ_Eε_p = k_Eκ_E L'energia si può conservare ma quantità di moto non si conserva Non posso trasformare fotoni in plasmoni Microscopio elettronico Microscopio elettronico: 50 keV ε_E=E_kinΔε = ε_kin - ε L'evento materiale cambia energia Per elettroni: eccitazione modelli plasmonici Quando l’elettrone passa se, spinge le cariche negative Si crea un condensatore La distribuzione elettronica viene fatta oscillare ρ(t) = ρ(ω_p) e ^iψ_pt I modelli elettroni vengono eccitati (plasmoni) In modo analogo al giorno Effetto Hall (1875) Sostituito dal modello di Drude L: Differenza di potenziale IE magnetico può aggiungere informazione aggiuntiva alla resistività? Modello di Drude Regge di Ohm Quando Bx=0 Quando Bx≠0 J_x=σE_x E = ρJ = ρ⎛⎛J⎞⎞⎝E⎠=⎝J⎠⎛⎞E_xρ⟨ Ex | Jx | =⟨ ρ Jx E⟩ Ey Jy ρ Jy⟩ =⟨ E⟩ Jz ρ Jz⟩ → Componenti mescolate So B≠0| B/me | → Tensore con struttura alterata dalla presenza di:| ρ | campo magnetico per i 2 termini fuori diagonale 2 termini fuori diagonale che accoppiano componenti non ortogonali di E e J Un corpo tridimensionale: semplice, alela | Ex =⟨ Jx B/me ⟨ Jy⟩| Ey =⟨ -B/me ⟨Jx⟩| Ez = ρ Jz generalizzazione ex. x/commutatori con stato | è presenta elementi | fuori diagonale Forza di Lorentz potrebbe piegare elettrone | fermo un campo di | Hall che contrasto la forza | del componente E_{y compensa la} | forza di Lorentz | Ex=⟨ e Jx | → non si vuole una | E⟩ = -⟨ B Jy⟩ E_e| | magnete resilito - campo E E⟨ Erz 0 all' stato stazionario Jx=0 ← non fa perne corrente | φermi come Ey |1) q⟨ 0 → | JS /⟨∈2) q⟨ 0 | - B EE ⟩→ F E B | F ⟨ → La forza la sempre da ⟨ _{Lo stesso parte} | J = ρ q⟨ 0| B/| m E | Cambiando corrente/aereo camina per verso campino elettrico a e_H 1 = R_H i B = R_H i BR_H = coeff di Hall → proprietà del materiale R_H^{molto grande} ~ n^-1 per metalli alcalini R_H i ≠ 1 per metalli alcalino terrosi (Mg, Sr²⁺) 2 elettroni nello shell interno Legge di Wiedemann Franz (1853) Verificano che per una vasta gamma di metalli a temperature prossime di quella ambiente:δ / σ = π² / 3 e (k / e)² → Costante indipendente dal materiale Modello di Drude: Q = C v_R = m3mδ / σ = 1 / 3 i C