Meccanica Razionale e dei continui B

Meccanica razionale

Lo spazio della meccanica è l'insieme di uno spazio di punti e uno spazio di vettori (E, V).

Ad ogni coppia di punti è associato un unico vettore.

Prodotto scalare: a·b (modulo, modulo, cos)

Prodotto vettoriale: a∧b (modulo, modulo, sin + regola della mano destra)

Prodotto misto: a∧b·c (a·c a·b·b∧c·c∧a)

Terne ortonormali

Terna ortonormale destra
e₁ ∧ e₂ = e₃

Terna ortonormale sinistra
e₁ ∧ e₂ = -e₃

e_k e_l ε_ik = δ_ik

v = v₁ e₁ + v₂ e₂ + v₃ e₃, ve = v·e

a·b = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

a ∧ b = e₁e₂e₃a₁a₂a₃b₁b₂b₃

Meccanica razionale

Lo spazio della meccanica è l'insieme di uno spazio di punti e uno spazio di vettori (E, V).

Ad ogni coppia di punti è associato un unico vettore.

Prodotto scalare: a∙b (modulo, modulo, cos)

Prodotto vettoriale: a^b (modulo, modulo, sin + regola della mano destra)

Prodotto misto: a^b∙c (a∙(b^c) = b∙(c^a) = c∙(a^b))

Terna ortonormale destra
e₁ ∧ e₂ = e₃

Terna ortonormale sinistra
e₁ ∧ e₂ = -e₃

e_h e_k - e_k e_h = δ_hk

V = V₁ e₁ + V₂ e₂ + V₃ e₃, V_k = V_f∙e_k

a∙b = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

a^b = e₁e₂e₃ a₁a₂a₃ b₁b₂b₃

Cinematica

OP(t) = x₀(t)i₁ + x_p(t)i₂ + x_p(t)i₃

dP(t); dP(t) = dP_γdt dξ - x₁(t)i₁ + x₂(t)i₂ + x₃(t)i₃ = OP_γ(t)

P(t) È il Moto

X È la Traiettoria

Δ(t) È l'Ascissa curvilinea ovvero la Lunghezza di X

Δ(t) = ∫₀^t lγ(τ)dτ

dΔ(t) = lγ(t)dt

Per consentire alla traiettoria di avere senso dobbiamo permettere alla velocità di annullarsi.

dω^ξ = lγ(t)dt

Δ(t) ≡ ξ(t)

P(t): Equazione della traiettoria δr(t): Legge oraria

γ(t) = dP_γ = dP dr dp_ξ = t · l · ˶dt dξ dt dr dξ

˶ = dP: Vettore tangente

dξ

a(t) = dv = d²p = d²r = . ˶ + . l · ˶ + l · d˶ - l ˶²ndt dξ² dt² dξ dt dξ

c · n = dt c: Curvatura

dξ n: Versore normale

b = t ∧ n Versore bitangente

Sistema di punti

Un moto rigido è un moto in cui la distanza dei punti non cambia.

Un punto solidale è un punto esterno al sistema le cui distanze da esso non cambiano.

Possono esserci anche piani solidali...

Termo fisso Termo solidale

P(t) - Q(t) + Y₁ e₁(t) + Y₂ e₂(t) +Y₃ e₃(t) = Q(t) + QP(t)

Q(t) è arbitrario ma e_i(t) devono essere ortonormati in qualsiasi istante di tempo.

Angoli di Eulero

n = zeta

x = e₃

y = e₁

Versore normale

θ - angolo di nutazione

ψ - angolo di rotazione proprio

φ - angolo di precessione

L'insieme delle velocità dei punti del corpo rigido si chiama atto di moto.

Teorema di Poisson

ω₁ = ω e₁

ω₂ = ω e₂

ω₃ = ω e₃

con: ω = (ȋ₁ e₁ + (ȋ₁ e₁) e₁) e₃

Velocità angolare del moto

Formula del moto rototraslazione

v(P) = v(C) + ω ∧ CP

Proprietà

• I punti del corpo rigido hanno la stessa velocità sulla direzione che li congiunge
• Le velocità di tutti i punti del corpo rigido nella direzione di ω devono essere uguali
• I punti appartenenti a rette parallele a ω avranno velocità uguali

Invariante scalare cinematico

• v(A) ∧ ω = v(C) ∧ ω (non dipende dai punti)