Meccanica Quantistica - Formulario

Name: Meccanica Quantistica - Formulario
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Author: Cherubino

Revisionato il 12/10/2026

di Cherubino

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Formulario di Meccanica Quantistica (con appendice matematica)

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Capitolo 1

Meccanica quantistica

1.1 Meccanica ondulatoria

Il sistema fisico in meccanica quantistica è uno spazio di Hilbert H ∈ L². Gli stati (propri) sono sottospazi di H: ψ ∈ L², ψ = 1. Le quantità fisiche (osservabili) sono operatori autoaggiunti in H: A ∈ H.

La dinamica dello stato è data dall’equazione di Schrödinger:

− (h̄² / 2m) ∇²ψ + Vψ = ih̄ ∂ψ / ∂t.

L’interpretazione di ψ è (Born): se il sistema è nello stato ψ, la probabilità che la sua configurazione sia in ΔX è:

∫_ΔX |ψ(x)|² dx.

La densità di probabilità ρ(x, t) = ψ*ψ = |ψ|² segue l’equazione di continuità ∂ρ / ∂t + ∇ · j = 0.

La densità di corrente di probabilità è data da:

j = (h̄ / 2im) (ψ* ∇ψ − ψ ∇ψ*).

Il valore atteso (valor medio) di un’osservabile A nello stato ψ è dato da:

⟨A⟩ ≡ E(A) = (ψ, Aψ) / (ψ, ψ).

La dispersione dell’osservabile A nello stato ψ è data da Δ²(A) = E((A − ⟨A⟩)²) = (ψ, (A − ⟨A⟩)²ψ) / (ψ, ψ).

Sia ψ lo stato del sistema e A e B due osservabili, si dimostra la disuguaglianza di Heisenberg:

Δ(A) Δ(B) ≥ 1/2 |(ψ, [A, B]ψ)| / (ψ, ψ), dove [A, B] è il commutatore.

L’evoluzione di un pacchetto d’onda libero è data da:

ψ(x, t) = ∫_−∞^+∞ (m / 2πih̄t)^1/2 e^{−m(x−y)²/(2ih̄t)}ψ(y, 0) dy.

Gli stati ψ(x, t) = e^−iωtψ(x) sono detti stazionari. Per questi stati l’equazione di Schrödinger diventa:

− (h̄² / 2m) ∇²ψ + Vψ = Hψ = Eψ.

1.2 Operatori

In meccanica quantistica le osservabili sono operatori autoaggiunti in H. Si definisce l’aggiunto di un operatore come (φ, Aψ) = (A^†φ, ψ) o in notazione di Dirac ⟨φ|A|ψ⟩ = ⟨ψ|A^†|φ⟩.

Un operatore si definisce Hermitiano quando A^† = A.

Un operatore si definisce autoaggiunto quando è Hermitiano e dom A = dom A^†.

Gli autovalori di un operatore Hermitiano sono reali, gli autovettori formano base Hilbertiana.

È possibile sviluppare una funzione d’onda come serie di autofunzioni di un’osservabile: ψ = ∑_n a_nψ_n.

La probabilità di trovare ψ nello stato caratterizzato dall’autovalore A_n è |a_n|²; ⟨A⟩_ψ = ∑_n A_n|a_n|².

In spazi a dimensione finita un operatore Hermitiano è autoaggiunto, e l’aggiunto di un operatore coincide con il complesso coniugato del trasposto: A^† = A^*t.

Un operatore si definisce unitario quando A⁻¹ = A^†.

Un operatore unitario si può sempre scrivere come U = e^−iH, dove H è un operatore Hermitiano.

Il commutatore di due operatori A e B è definito come: [A, B] = AB − BA.

Il commutatore è lineare, anticommutativo [A, B] = −[B, A], distributivo [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C.

Vale l’identità di Jacobi [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0.

Due osservabili ammettono autofunzioni comuni se e solo se il loro commutatore è nullo.

Se le osservabili sono definite in meccanica classica, allora: [Commutatore] = ih̄ [Parentesi di Poisson].

Valgono le seguenti relazioni:

(AB)^† = B^†A^†, (αA)^† = α*A^†;

e^Ae^B = e^A+B se [A, B] = 0; e^ABe^−A = B + [A, B] + 1/2![A, [A, B]] + 1/3![A, [A, [A, B]]] + ...

1.2.1 Operatore posizione

In meccanica quantistica la posizione è l’operatore moltiplicativo Qψ = xψ.

Il dominio dell’operatore sono le funzioni: {ψ ∈ L², xψ ∈ L²}, ovvero L² ∩ L¹.

L’operatore posizione è diagonale (moltiplicazione per la variabile indipendente).

L’operatore posizione non ha autofunzioni proprie (∈ L²), ma ha come autofunzione impropria la distribuzione delta.

1.2.2 Operatore impulso

In meccanica ondulatoria l’operatore impulso è l’operatore differenziale Pψ = −ih̄Dψ.

Il dominio dell’operatore sono le funzioni: {ψ ∈ L², Dψ ∈ L²}, ovvero ψ ∈ C₀.

Segue la regola di commutazione [x, p] = ih̄.

In uno spazio a volume limitato (scatola) l’operatore impulso ha autofunzioni proprie: ψ = (1/√L)e^ikx.

In uno spazio a volume infinito l’operatore impulso non ha autofunzioni proprie, ma ha autofunzione impropria (distribuzione) ψ = (2πh̄)^−1/2e^ipx/h̄.

La trasformata di Fourier rappresenta l’ampiezza di probabilità nello spazio dei vettori d’onda, ψ̂(p).

Se il sistema è nello stato ψ, la probabilità che la configurazione dell’impulso sia in ΔP è:

∫_ΔP |⟨ψ, ψ̂(p)⟩|² dp.

1.2.3 Operatore energia

In meccanica quantistica l’operatore energia è l’Hamiltoniano del sistema.

L’operatore energia cinetica (Hamiltoniano libero) è l’operatore differenziale H₀ψ = −h̄²/(2m) D²ψ.

Il dominio di H₀ sono le funzioni: {ψ ∈ L², D²ψ ∈ L²}, ovvero ψ ∈ C₀².

In generale H = H₀ + V, con operatore energia potenziale, dom H = {ψ ∈ L², Vψ ∈ L²}.

L’equazione di Schrödinger è l’equazione agli autovalori Hψ_i = E_iψ_i.

Gli autovalori dell’energia sono chiamati livelli energetici.

Un livello energetico è degenere se esistono più autofunzioni corrispondenti allo stesso autovalore.

I livelli energetici dello spettro discreto in un sistema unidimensionale sono non degeneri.

La funzione d’onda (autofunzione con autovalore E_n) si annulla n volte.

Se l’energia potenziale contiene delle delta: V(x) = λ∑_iδ(x − x_i), ψ(x) è continua, ψ′(x) è discontinua:

Δψ′(x_i) = ψ′(x_i⁺) − ψ′(x_i⁻) = 2mλ/h̄² ψ(x_i).

1.3 Perturbazioni ai livelli energetici

Se l’Hamiltoniano del sistema si scrive come H = H₀ + λV, H₀ è diagonalizzabile (H₀ψ_i⁽⁰⁾ = E_i⁽⁰⁾ψ_i⁽⁰⁾) e λ ≠ 1, allora si può sviluppare l’autovalore di H come serie di potenze di λ:

E_i = E_i⁽⁰⁾ + λE_i⁽¹⁾ + λ²E_i⁽²⁾ + ... + λⁿE_i⁽ⁿ⁾.

Le autofunzioni di H si sviluppano in serie delle soluzioni di H₀ (soluzioni imperturbate):

ψ_i = ∑_k a_kiψ_k⁽⁰), a_ki = δ_ki + λa_ki⁽¹⁾ + λ²a_ki⁽²⁾ + ...

Se il livello energetico imperturbato E_i⁽⁰⁾ è non degenere si ha:

E_i⁽¹⁾ = ⟨ψ_i⁽⁰⁾|V|ψ_i⁽⁰⁾⟩;

a_ki⁽¹⁾ = ⟨ψ_k⁽⁰⁾|V|ψ_i⁽⁰⁾⟩ / (E_i⁽⁰⁾ − E_k⁽⁰⁾), ψ_i⁽¹⁾ = ∑_k≠i a_ki⁽¹⁾ψ_k⁽⁰⁾.

E_i⁽²⁾ = ∑_k≠i |⟨ψ_k⁽⁰⁾|V|ψ_i⁽⁰⁾⟩|² / (E_i⁽⁰⁾ − E_k⁽⁰⁾).

E_i⁽³⁾ = ∑_k≠i,_j≠i V_ijV_jkV_ki / ((E_i − E_j)(E_i − E_k)) − V_ii∑_k≠i V_ikV_ki / (E_i − E_k)².

Se il livello energetico imperturbato è degenere bisogna diagonalizzare l’operatore V nel sottospazio degli stati degeneri.

Gli autovalori sono le correzioni all’energia al primo ordine, gli autovettori corrispondenti sono le correzioni alle autofunzioni degeneri al primo ordine. Gli stati ottenuti devono essere normalizzati.