Meccanica: moto armonico

Forza elastica e moto armonico

Come abbiamo già visto, un corpo solido tende a deformarsi sotto l'azione di una forza.

Questa deformazione è meccanica perché il corpo possa generare una forza di reazione che contrasti la forza applicata, così da raggiungere un equilibrio. Questa proprietà dei corpi si chiama elasticità, e si trova che la forza elastica è in generale lineare con la deformazione.

Il caso esemplare è quello di un corpo di lunghezza finita, ad esempio una molla.

Chiamata x = 0 la posizione di equilibrio, la molla applica una forza:

F_e = -k x

dove k è una proprietà della molla, in generale del corpo, chiamata costante elastica.

Si noti il segno negativo che indica come il verso della forza sia opposto a quello dello spostamento, deformazione.

La particolare forma lineare della forza elastica porta ad un moto molevole periodico, chiamato moto armonico.

Forza elastica e moto armonico

Come abbiamo già visto, un corpo solido tende a deformarsi sotto l'azione di una forza.

Questa deformazione è necessaria perché il corpo possa generare una forza di reazione che contrasti la forza applicata, così da raggiungere un equilibrio. Questa proprietà dei corpi si chiama elasticità, e si trova che la forza elastica è in generale lineare con la deformazione.

Il caso esemplare è quello di un corpo di lunghezza finita, ad esempio una molla.

Chiamato x = 0 lo stato di equilibrio, la molla applica una forza.

F_e = -kx

dove k è una proprietà della molla, in generale del corpo, chiamata costante elastica.

Si noti il segno negativo che indica come il verso della forza sia opposto a quello dello spostamento, deformazione.

La particolare forma lineare della forza elastica porta ad un moto molecolare, periodico, chiamato moto armonico.

Equazione del moto armonico

Consideri ad esempio un corpo di massa m ... (sistema senza massa) e immagini di portare il corpo di una quantità x₀ e di lasciarlo quindi partire da ...

La legge di ... ci dice che:

F_e = ma → ma = -Kx

Ricordarsi che a = d²x/dt² → ma = m d²x/dt² = -Kx

Ovvero:

d²x/dt² = -k/m x

Questa è un'equazione differenziale di facile soluzione e si ricorda la proprietà di derivata delle funzioni sinusoidali:

d/dt sin(ωt) = ωcos(ωt)

d/dt cos(ωt) = -ωsin(ωt)

che implicano:

d²/dt² sin(ωt) = -ω²sin(ωt)

d²/dt² cos(ωt) = -ω²cos(ωt)

Questa è proprio la forma dell'equazione di Newton scritta sopra, se si fa la sostituzione:

ω² = k/m

trovando, x(t) = x₀ cos(ωt)

Intorno: le funzioni trigonometriche

Dato un triangolo rettangolo:

a^b/_a = cosθ

definizioni

c^b/_a = senθ

c^b/_b = senθ/cosθ = tanθ

Si ricorda che la misura degli angoli più corretta è adimensionale: la misura di θ in radianti è il rapporto tra un qualunque arco di circonferenza centrato nel vertice dell'angolo, ed il corrispondente raggio:

θ = l/r

Per un angolo giro: θ = 2πr/r = 2π

Il seno ed il coseno vengono essere quindi definiti, su un triangolo rettangolo di ipotenusa unitaria, e quindi su una circonferenza di raggio unitario.

Con semplici ragionamenti si possono ricavare delle regole di somma e di simmetria.

• Sin²() + cos²() = 1
• Sin(+) = sin()cos() + sin()cos() cos(+) = cos()cos() - sin()sin()
• Sin(-) = -sin() ; f. antisimmetrica (dispari) cos(-) = cos() ; f. simmetrica (pari)
• Cos() = sin( + /2)

L'ultima proprietà ci dice che sin() e cos() sono sostanzialmente la stessa funzione, spostata di un angolo retto. Tutte queste proprietà si possono ricavare in modo geometrico.

Entrambe le f. sono periodiche, con periodo pari a 2.

sin( + 2) = sin()

cos( + 2) = cos()

Ci sono alcuni angoli speciali:

sin(/6)   sin(/4)   sin(/3)

1/2   √2/2   √3/2

cos(/3)   cos(/4)   cos(/6)

Periodo e frequenza

Torniamo al moto armonico: la grandezza ω è detta frequenza angolare, ed il suo prodotto per un tempo dava un angolo:

ωt = θ

Dato che il cos(θ) è periodico di periodo 2π, possiamo scrivere:

ω = 2π/T

T = periodo temporale

x(t) = x₀cos(ωt) = x₀cos(2πt/T)

Tutte le volte che t varia di T, la funzione compie un periodo.

Una quantità alternativa è la frequenza, V = 1/T, che rappresenta il numero di oscillazioni nell'unità di tempo.

Riassumendo:

ω = √(k/m) frequenza angolare

V = ω/2π frequenza

T = 2π/ω = 1/V periodo

Velocità, accelerazione e forza

Nota x(t), è facile trovare l'evoluzione di v, a, dF:

v(t) = dx(t)/dt = -x₀ω sin(ωt) = -v₀ sin(ωt)

a(t) = dv(t)/dt = -x₀ω² cos(ωt) = -a₀ cos(ωt)

F(t) = m a(t)

v₀ = x₀ω

a₀ = x₀ω²

Si nota come velocità e posizione siano in controfase.

x t x_o   dx

O   Ox_o

• X_o è massimo, v = 0
• X = 0, v è minimo
• X_o è minimo, v = 0
• X = 0, v è massimo

Di nuovo questa è una conseguenza della relazione generale: v = dx/dt

Il moto che abbiamo studiato ora è un caso particolare, nel senso che possiamo scegliere un'altra condizione iniziale ed avere lo stesso tipo di oscillazione, ma con una fase diversa.

Ad esempio, facendo partire il corpo da x_o = 0, ma con v_o > 0, si ottiene:

{ x(t) = x_o sin(wt)   v(t) = v_o cos(wt)

Ora in generale:

{ x(t) = x_o sin cos (wt + φ_o)   v(t) = -x_o sin (wt + φ_o) dove φ_o è la fase iniziale.

Esercizio: moto armonico in presenza della forza peso

Suggeriamo di lasciare cadere un corpo appeso ad una molla, parlando della lunghezza di equilibrio della molla, di fermo.

In questo caso ci sono due forze:

F_tot = P + F_e = P - kx

La legge di Newton:

ma = m d²x / dt² = mg - kx

Da cui:

d²x / dt² = g - k/m x

Questa eq. si può ottenere trasformando il terzo eq. in uno spostamento, x_eq:

d²x / dt² = g - k/m x = -k/m (x - x_eq)

Dove quindi:

x_eq = mg/k

Rappresenta lo spostamento del carico in equilibrio, infatti:

P + F_e = 0 => P - kx_eq = 0 => mg - kx_eq = 0

x_eq = + mg/k

Partendo all'eq. di Newton:

\[\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}(x-x_0)\]

Ci accorgiamo che è identica a quella già trovata a parte un termine di offset che corrisponde ad una traslazione dell'asse x. Dato che la derivata non è sensibile alla traslazione possiamo anche scrivere due eq. del tipo:

x' = (x-x₀)

\[\frac{d^2x'}{dt^2} = -\frac{k}{m}x'\]

Si trova:

x'₁(t) = -x₀cos(ωt)

x(t) = x'₁(t) + x₀ = x₀ - x₀cos(ωt) = x₀(1-cos(ωt))

Il risultato è ragionevole:

Il corpo parte da x = 0, e questo è anche il punto di altezza massima raggiunto ad ogni oscillazione.

La nuova costante di "equilibrio" è per x₀ = \(\frac{mg}{k}\), come ci aspetteremmo nel caso statico.