La dinamica del punto materiale

La dinamica del punto materiale

Poniamo l’attenzione sulle cause del moto. Ci sono due principi importanti della dinamica, già introdotti da Galileo Galilei: il principio di inerzia e il principio di relatività.

Il principio di inerzia dice che ogni corpo rimane nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme fino a quando non è costretto a cambiarlo da una forza esterna.

Il principio di inerzia vale in tutte le categorie di sistemi di riferimento? Il sistema di riferimento in cui vale il principio di inerzia è il sistema di riferimento inerziale: infatti nei sistemi di riferimento non inerziali il principio di inerzia non funziona dal punto di vista sperimentale. La ricerca del sistema di riferimento inerziale perfetto non dà frutto: la Terra non è un sistema di riferimento inerziale, ma comunemente la trattiamo come se lo fosse perché l’errore che commettiamo nelle misure è trascurabile: a seconda della scala dei fenomeni che dobbiamo studiare scegliamo un sistema di riferimento adeguato a tali fenomeni.

Perché un corpo cambia il proprio stato di moto? Perché interagisce con un agente esterno, una forza. Se due corpi con la stessa velocità interagiscono con lo stesso agente esterno ma con effetti diversi, allora vuol dire che c’è una qualche proprietà di questi corpi che influisce, ovvero la massa inerziale (kg) che ha alcune caratteristiche fondamentali: la grandezza additiva, l’indipendenza dalla natura dell’agente esterno e l’indipendenza dalla velocità del corpo. ⃗F

La causa dei cambiamenti di moto è invece una forza che è una grandezza vettoriale capace di modificare lo stato di moto dei corpi e che si misura in Newton N. L’effetto della forza sui corpi è definito ⃗ =m ⃗F a dalla legge del moto di Newton (secondo principio della dinamica): . L’effetto delle forze infatti è quello di generare un’accelerazione cambiando lo stato di moto. Definiamo un’altra grandezza vettoriale, la ⃗ ⃗p=m v quantità di moto di un corpo, ovvero il prodotto tra la massa del corpo e la sua velocità .

L’enunciato più generale della forza dice che:

ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ⃗ ⃗ ⃗p m v m v m⃗ = = = +m = +m ⃗F v v a⃗ ⃗ⅆ ⅆ ⅆ ⅆ ⅆt t t t t⃗ =m ⃗F a

Quindi la formula citata prima non è altro che il caso particolare in cui la massa del corpo rimane costante. Un razzo è un esempio di sistema di riferimento in cui la massa non rimane costante e bisogna considerare la forza come derivata della quantità di moto.

Determinazione del moto

Come determiniamo il moto di un corpo conoscendo le forze che agiscono su di esso? Scomponiamo la forza nelle sue componenti vettoriali: 2 2 2d x d y d z=m =m =mF , F , Fx y z2 2 2dt d t d t ( ) ( ) (t)F t , F t , F

Per risolvere queste tre equazioni differenziali, abbiamo bisogno di conoscere , max y z anche le sei condizioni iniziali: x , y , z e v , v , v .0 0 0 0x 0y 0z

⃗ =0F

Se abbiamo assenza di forze, ovvero se , allora:

2 2 2d x d y d z=0, =0, =0m m m2 2 2dt dt dt( )=v ( )=v ( ) =vv t , v t , v t

Questo vuol dire che , ovvero la velocità è costante e quindi siamo in x 0 x y 0 y z 0 z moto rettilineo uniforme.

⃗ ⃗=cost =m ⃗F F g

Se invece la forza è costante, quindi se , è il caso della forza gravitazionale e la legge del moto diventa:

2 2d r d r⇒=m ⃗ =⃗m g g2 2dt dt

La massa al primo membro è la massa inerziale del corpo, mentre quella al secondo membro è la massa gravitazionale. Le due masse sono uguali? Concettualmente il fatto che sono uguali è definito dal principio di equivalenza: non c’è modo di distinguere gli effetti della gravità da quelli prodotti da un sistema di riferimento accelerato. Così la massa di un corpo che viene attratto dalla gravità terrestre non può essere ⃗g diversa da quella di un corpo soggetto a un’accelerazione pari a in assenza di gravità.

Per risolvere l’equazione differenziale prima citata dobbiamo dividerla in componenti, ovvero abbiamo:

2 2 2ⅆ ⅆ ⅆx y z=0, =0, =−g2 2 2ⅆ ⅆ ⅆt t t 1 2+ + +→ x=x v t , y= y v t , z=z v t− g t0 0 x 0 0 y 0 0 z 2

( )= ( )ϕx t A cos ωt+

Per il moto armonico , la forza è calcolata con la derivata seconda della legge oraria ⃗ 2 ( )=−mω per ricavare l’accelerazione, quindi abbiamo .F x t

I problemi che contengono la presenza di forze sono facilmente risolvibili se conosciamo la forza in funzione del tempo, ma se conosciamo la forza in funzione della posizione la risoluzione diventa più complicata. Se −k( )=F x una forza è definita come possiamo ricavare la velocità ma solo in funzione della posizione:

2x ⅆ ⅆ−k −kv v⇒= =m ⅆ ⅆt t2 2x m x−kdv dv dx dv= =∙ v=dt dx dt dx 2m xxk dx∫=¿−vdv 2m xx 0 v−k ∫= ¿vdv dx →2mx v 0√( ) ( )1 k 1 1 2 k 1 1( )2 2 2( )=−v = − − +v → v x v0 02 m x x m x x0 0

Reazioni vincolari e tensione

⃗N Un tipo particolare di forza è la reazione vincolare . Le reazioni vincolari fanno sì che un corpo stia fermo o si muova lungo una guida. Un oggetto di massa m appoggiato su un tavolo subisce l’azione della forza peso verso il basso, ma il fatto che quest’oggetto rimanga sul tavolo implica che ci sia una forza ⃗m g esercitata dal tavolo uguale in modulo a . Ciò accade fino a un certo valore massimo dopo il quale il vincolo non riesce più ad equilibrare le due forze e semplicemente si rompe. Le reazioni vincolari hanno luogo anche nelle situazioni dinamiche e non solo statiche (per esempio le rotaie esercitano una forza vincolare sui treni in movimento).

⃗T Appartiene alla categoria delle reazioni vincolari anche la forza di tensione delle funi, oggetti inestensibili e di massa trascurabile. Troviamo spesso la forza di tensione delle funi in un particolare sistema, che è quello della carrucola.

Esempio 1.1

Una carrucola di massa trascurabile e priva d’attrito ha come unico effetto quello di cambiare la direzione della forza della fune. Su un corpo di massa m la fune esercita una forza di tensione F, mentre la forza di tensione sul corpo m è T diretta verso l’alto. Scrivere le equazioni del moto. 1 2

Soluzione: le due tensioni sono sicuramente in modulo uguali perché la fune è inestensibile. Decidiamo che il verso positivo è quello che fa muovere m verso sinistra, quindi quello che fa muovere m verso l’alto. Le equazioni del moto saranno le seguenti: 1 2

=mF−T a1−mT g=m a2 2

Le due accelerazioni sono uguali perché le funi sono inestensibili. Sommiamo membro a membro le equazioni:

+T −mF−T g=m a+m a2 1 2m F−m g2¿ 1+m(¿ )a → a=2 +m m1 2

F−m g=¿2F> m g F< m g

Se , l’accelerazione è positiva, al contrario se allora l’accelerazione è negativa 2 2 quindi il corpo m si sposta verso destra e il corpo m scende verso il basso. Un esempio di carrucola è la macchina di Atwood di massa trascurabile e priva d’attrito che serve a misurare l’accelerazione di gravità. 1 2

Piano inclinato e attrito

Se abbiamo un corpo appoggiato su un piano inclinato ci chiediamo quali sono le forze che agiscono su questo corpo: agiscono la forza peso diretta verso il basso e la reazione vincolare diretta perpendicolarmente al vincolo.

Scegliamo un sistema di riferimento xy in quanto si tratta di una situazione bidimensionale. Scomponiamo la forza peso in due componenti, una parallela e una perpendicolare al piano =mgcosαFinclinato, che chiamiamo e⊥. Quella perpendicolare è equilibrata alla =mgsinαF ‖reazione vincolare, mentre quella parallela è responsabile dello scivolamento del corpo sul piano inclinato. Su un piano inclinato, oltre alla forza peso e alla reazione vincolare, può agire anche un terzo tipo di forza, ovvero la forza d’attrito. Ma che cos’è l’attrito? L’attrito è un fenomeno complesso dovuto a interazioni di tipo molecolare tra due superfici a contatto: agisce sia nel caso statico che nel caso dinamico. Nel caso statico la forza d’attrito si oppone alla forza motrice che fa muovere il corpo, mentre nel caso dinamico si oppone al moto dei corpi. Ci sono vari tipi di attrito:

• L’attrito radente, quando due corpi strisciano l’uno sull’altro (ad esempio sulle superfici scabre), che agisce in direzione perpendicolare alle superfici ed è proporzionale alla reazione vincolare. L’attrito radente a sua volta si divide in attrito statico e dinamico.
• L’attrito volvente, quando un corpo rotola sulla superficie di un altro;
• L’attrito viscoso, quando un corpo si muove in un fluido.

Nel caso statico la forza d’attrito assume il valore che serve ad equilibrare la forza motrice, fino ad un valore massimo quando la forza motrice diventa troppo forte: questo valore dipende dal coefficiente d’attrito μ μ N F ≤ μ Nstatico ed è definito come . Quindi fino a quando si tratta di attrito statico.s s a s

Quando supera il valore massimo il corpo inizia a strisciare sulla superficie e l’attrito diventa attrito =μF N μdinamico che è uguale a , dove è il coefficiente d’attrito dinamico che è minore del a d d coefficiente d’attrito statico, perché bisogna utilizzare una forza motrice maggiore per vincere l’attrito e far muovere il corpo, ma una volta che il corpo è in moto ci vuole meno forza per vincere l’attrito.

Esempio 1.2

Se su un corpo di massa m agiscono la forza peso, la reazione vincolare, la forza d’attrito F e la forza motrice F che forma un angolo α con l’orizzontale, qual è la forza F massima affinché il corpo rimanga fermo? a

Soluzione: la condizione di equilibrio richiede che la risultante di tutte queste forze sia nulla, quindi abbiamo ⃗ +⃗ +⃗ +m ⃗ =0F F N g . È un problema bidimensionale, per cui scegliamo un sistema di riferimento xy in a modo da vedere la forza d’attrito come negativa. Abbiamo quindi il seguente sistema di equazioni:

{ =0Fcosα−F a+ −mg=0N Fsinα

La forza motrice aiuta la reazione vincolare ad equilibrare la forza peso, quindi serve una reazione vincolare N=mg−Fsinαminore. Dalla seconda equazione ricaviamo che . Sappiamo che affinché il corpo F ≤ μ N (mg−Fsinα )F ≤ μrimanga fermo , per cui . Dalla prima equazione ricaviamo che a sa s Fcosα=F (mg−Fsinα ) )≤Fcosα ≤ μ F( cosα+ μ sinα μ mg, per cui abbiamo , cioè , es s sa μ mgsF≤otteniamo così .+cosα μ sinαs

Attrito viscoso

Se lasciamo cadere un oggetto nel vuoto cade a seconda dell’accelerazione di gravità, ma le leggi orarie sono diverse a seconda dell’oggetto: ciò è dovuto all’attrito viscoso del moto di un corpo in un fluido e per questo motivo il corpo raggiunge una velocità limite. L’attrito viscoso è dato da:

• Una forza proporzionale alla velocità, per velocità basse;
• Una forza proporzionale al quadrato della velocità, per velocità alte.

⃗ =−k ⃗F v

Nel caso delle velocità basse la forza d’attrito è , ovvero è proporzionale alla velocità del corpo. La legge di un corpo che cade in un fluido viscoso secondo questa situazione è:

ⅆ ⃗v =m ⃗ −km g v⃗ⅆ t

È un’equazione differenziale a variabili separabili, che si può risolvere nella maniera seguente:

ⅆ ⅆ⃗ ⃗ ⃗ −kmⅆ v v k vⅆ ⅆ ⅆ= = =t → t → t−k ⃗ ⃗ ⃗m⃗g v m g m m g m−⃗ + −v v⃗k k( )m⃗g⃗ −vv tⅆ ⃗ −k −kv k∫ ∫= =dt → ln t⃗ ⃗m g m m g m− −⃗v v⃗ ⃗v 00 0k km⃗g−v⃗ ( )−k −k −k −k( )⃗ ⃗k m g m⃗g m gt t t tⅇ=e − = − = +m m m m→ v v e → v v 1−ⅇ⃗ ⃗ ⃗ ⃗0 0⃗m g k k k−v⃗ 0 k ( )−k⃗m g t=0v m

Se , abbiamo che: . Quindi l’andamento della velocità ha un valore ⃗ =v 1−ⅇ0 km⃗g −k tasintotico in e il valore di determina quanto velocemente arriva a quel valore asintotico.mⅇk

Per quanto riguarda invece le velocità alte, la forza d’attrito è proporzionale al quadrato della velocità del corpo, quindi abbiamo:

⃗ 2=−k ⃗F v

Come prima svolgiamo tutti i calcoli per ricavare la velocità:

⃗ ⃗ ⃗d v md v d v k2 2⃗ =m ⃗ −k =m ⃗ −k =dt =m a g v → m g v → → dt⃗ ⃗ ( ) ( )dt m⃗m⃗g m g2 2− −k v v⃗ ⃗k kv t v t⃗ ⃗d v k d v k∫ ∫ ∫ ∫= =dt → dt( ) ( )m m⃗ ⃗m g m g2 2v 0 v 0−⃗ −⃗v v0 0k k √ ⃗m g

Per risolvere questo integrale facciamo un cambio di variabile e poniamo , quindi proseguiamo:

a= kv t v t⃗ ⃗d v k d v k∫ ∫ ∫ ∫= =dt → dt2 2 (a−v)( )m a+v m−vav 0 v 00 0A B 1 ( ) ( )=1→ (−A ) ( )+ = + + + +→ A a−v B a+ v B v A B a=1a−v a+ v (a−v )(a+ v) 1{ A=A=B{−A +B=0 2 a→ →12 Ba=1 → B=Aa+ Ba=1 1B=2 a 2 av v v v1 1 1 1 1 1 1 1∫ ∫ ∫ ∫⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗∙ d v ∙ d v → d v d v2 a a−v 2 a a+ v 2 a a−v 2 a a+ vv v v v0 0 0 0 [ ][ ] ( )( ) ( ) ( ) a+ v1 1 a+ v a−v 1 a+vv[ ] 0( )+ ( + −ln→ ln a−v ln a+ v) → ln ln → lnv2 a 2 a a+ v a−v 2 a a−v a−v0 0 0 0[ ] [ ]( ) ( )t( ) ( )a+ v a+ v1 a+v k 1 a+ v k∫0 0−ln = −ln =ln dt → ln t2 a a−v a−v m 2 a a−v a−v m0 0 0( )( ) 2 ak 2 ak( ) a+ v a+ v a+ va+v 2 ak a+ v t t0 0 0( )m m−ln = = −aln t→ e → v= a−v ea−v a−v m a−v a−v a−v0 0 0( ) ( )2 ak 2 ak 2 ak 2 aka+ v a+ v a+v a+ vt t t t0 0 0 0m m m m+v =a −a +1 =a −1→ v e e → v e ea−v a−v a−v a−v0 0 0 02 aka+ v t0 m −1ea−v 0→ v=a 2 aka+ v t0 m +1ea−v 0

La forza ch