Dinamica di un punto materiale

Dinamica di un punto materiale

Dinamica

La dinamica studia il moto dei corpi in relazione alle cause del moto, la variazione dello stato di moto di un punto è determinata dall'interazione del punto con l'ambiente circostante.

Galilei - Principio di inerzia

In un sistema di riferimento inerziale un corpo che non è soggetto ad azioni esterne permane nel suo stato di quiete o di moto:

• Se v = 0 ⇒ v' = 0 ⇒ se il punto è fermo ⇒ rimane fermo.
• Se v ≠ 0 ⇒ v = cost ⇒ se il punto si sta già muovendo ⇒ non cambia la velocità.

I princìpi della dinamica

1° legge di Newton

Il primo principio è uguale al principio di inerzia di Galilei.

2° legge di Newton

L'atto esterno (lo chiamiamo "forza" F, essa è proporzionale all'accelerazione.)

F = m · a

• Forza ⇒ quantità vettoriale
• Massa inerziale ⇒ una quantità scalare, è una proprietà del corpo.

3° legge di Newton - Principio di azione e reazione

F/ = -F/ ⇒ ΣF_ext = 0

Quantità di moto

p = m · v

d m_g = m_a ⇒ _g = _a

Reazione normale del piano

_N se c'è solo una forza _N = -_p

Se ci sono più forze _N = -_∑iN + _p = 0

Esempio: Tensione di un filo

Piano e filo sono vincoli unilaterali _T = -_p

Esistono 2 modi per calcolare la reazione naturale

1º metodo

N_y = -gR_y

2º metodo

P nel verso opposto all'asse Ne = -(-P) → Ne = P

Utilizzo i moduli

Esempio - Sensazione di peso

Scegli un asse z:

• Ascensore fermo → ∑ a = 0 → N₁ - m₁g = 0 → N₁ = mg
• Ascensore in moto → ∑ a = 0 → N₂ - m₂g = m₂(-g)

CASO 1 - Accelerazione

• N = m(g + a) → N = m(g - a) → mg

CASO 2 - Crociera

Procede con una velocità costante:

• ∑ a = 0 → N = mg

CASO 3 - Frenata

Si fa per frenare → decelerare:

• ∑ a = 0 N = m(-a + g)

Forza e attrito

R - (P + N + F_at) = 0

R - 0 = 0 → N + F_at = F_est

Condizione statica

Rispetto l'asse x

• +F_A - F = 0

Rispetto l'asse y

• -P + N + F_Z = 0
• N = P + F_Z

Condizione dinamica (v ≠ 0)

F_AB = F_AB > COEF. DI ATTRITO DINAMICO

Quando un corpo è fermo ci vuole più tempo per farlo mettere in moto. Ci vuole una forza maggiore rispetto a quando è in moto.

Piano inclinato

CASO 1 - Piano liscio

N è perpendicolare al piano:

• ΣF = ma_P - N^→ = ma^→
• x) P_x = ma_x → mg.senθ = ma_x → ma_x = gsenθ

e a_y) P_y + N = ma_y → - mg.cosθ + N = 0 → N= mgcosθ

P_x = P.senθ = mg.senθ

P_y = - P.cosθ = -mg.cosθ

CASO 2 - Piano scabro

Condizioni statiche

• ΣF^→ = a^→ = 0 → ΣF_P+ΣF_N+ΣF_AS = 0
• x) P_x - F_AS = 0 → mgsenθ - F_AS = 0 → F_AS = mgsenθ
• y) - P_y + N = 0 → - mgcosθ + N = 0 → N = mgcosθ
• F_AS ≤ μ_sN mgsenθ ≤ μ_smgcosθ → senθ ≤ μ_s cos θ → Tgθ ≤ μ_s
• Es. se μ_s = 0.77 → Tgθ = 0.77 → θ = arcTg 0.77 = 37.6°

Condizioni dinamiche

• ΣF^→ = ma^→ → ΣF_P + ΣF_N + ΣF_AB = 0
• x) P_x - F_AB = ma_x → mgsenθ - F_AB = ma_x
• y) - P_y + N = 0 → - mgcosθ + N = 0 → N = mgcosθ
• F_AB = μ_dN mgsenθ - μ_bN = ma → mgsenθ - μ_bmgcosθ = ma
• a = g(senθ - μ_bcosθ)

Il risultato non dipende da μ. Se θ = π/2 → cosθ = 0 e senθ=1, il corpo cade con a= g (moto unif. accell.)

Forza elastica

Esistono materiali di natura elastica e di natura plastica, i primi hanno la caratteristica che anche dopo essersi deformati, tornano al loro aspetto originale. È fissato in un punto ed è in posizione di riposo ad una lunghezza l₀, ovvero non è in condizione di compressione o di estensione. Una F_el allunga l’oggetto, in contrapposizione c’è la forza elastica F_el, che tende a riportarla alla condizione di riposo l > l₀ dove x₀ rappresenta la deformazione.

• Una F^'_el comprime l’oggetto, in contrapposizione la forza elastica lo riporta alla condizione di riposo l < l₀ dove x₀ rappresenta la deformazione.

Possiamo usare lo sviluppo di Taylor:

F_el (x)=F_el (l₀)+dF_el (l₀)dx x+... Possiamo trascurare i termini di indice z se la deformazione è “piccola”.

La forza elastica viene applicata solitamente tramite una molla e viene utilizzato un coefficiente K: il coefficiente elastico che dipende da:

• Materiale del corpo
• Lunghezza del corpo
• Sezione del corpo

K → [N/m]

Come detto prima la f_el tende a riportare la molla in posizione di riposo:

F_el (x)=-k(l-l₀)Δx =k(x-x₀)Δx=-kx

Oscillatore armonico

Se viene esercitata una F_el ad entrambi gli estremi, la molla allungata:

ω = √ km ν = 2πτω ω = √ k /m

Dinamometro

È uno strumento di misura usato per determinare l'entità di una forza ad esso applicata. Il dinamometro ha una scala lineare e per comodità ci si basa sul peso di una massa. Se aggiungiamo una massa di 1 kg [g ≈ 9,81 m/s²]

Forza di attrito viscoso

Cambia di intensità in base alla velocità v.

Dipende da:

• Viscosità del fluido
• Geometria del corpo (sezione del corpo)

È opposta in verso a v.

Moto di un grave in presenza di resistenza viscosa

g v_x sarà sempre uguale

v_x può cambiare direzione, verso, modulo, in base a v.

Un'equazione differenziale corrisponde a due equazioni scalari: x, y (z = 0)

1. bvx = m dvx/dt dvx/vx = -b/m dt log |vx| = -b/m T + cost vx(T) = e^cost o xe^-bT
2. Se si desse assenzare il corpo, si muoverebbe verticalmente mgy - bvy = m dvy/dt -dvx/vx = -b/m dt log (mg - bvy) = -b/m T + cost v_fy = v_em = mg/b

In tempi lunghi, dopo un po', avremo una velocità costante, verso il basso.

Pendolo semplice

Filo inestensibile e di massa nulla. Il filo è un vincolo unilaterale, la massa non si può spostare più di l e dal soffitto.

In cond. statiche

p_t + T₀ = p_a - T T = mg

In cond. dinamiche

La massa compie un moto circolare, consideriamo che non ci siano resistenze dell'aria. In questo caso p_t - T_c = p_a p_t + T = ma_b

Nota - Forza centripeta

Come si vede dv = v²e_r mdv = ma_e

• x) -mg sinθ = mRe
• x) -mg sinθ = ¹/_μ d²θ/dt²
• mt² = g sin θ ⇒ m²θ = 0

Se le oscillazioni sono piccole sinθ ≃ θ... oscillatore armonico d²x/dt² + ω²x = 0 ⇒ ω = √^g/_l

T ≃ 2π √^l/_g

Se sono piccole oscillazioni è periodico e in particolare armonico, se non lo sono è solo periodico. Per essere definite piccole oscillazioni

• Fisico ^{sin θ - 2}/_θ < 0,01
• Ingegnere ^{sin θ}/_θ < 0,1 ⇒ θ < 30°