Meccanica delle Vibrazioni, Barbieri

Name: Meccanica delle Vibrazioni, Barbieri
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Author: giacomozamba

Revisionato il 08/09/2026

di giacomozamba

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Appunti delle lezioni del prof. Barbieri per l'esame di meccanica delle vibrazioni sui seguenti argomenti trattati:- Sistemi a 1 GdL- Trasformata di Fourier (continua e discreta)- Campionamento …

Esame Meccanica delle vibrazioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Barbieri Marco

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2019-2020

64 pagine

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Estratto del documento

Sistemi a LMassa-molla

Defy = Δx + Eq. Moto: ux - (Δ + x)k + mg = 0 Ix

In equilibrio statico vale, x = 0 - k·Δ + mg = 0 Δ = mg/k

Sostituisco -uxmg + kx Eq. dell'oscillatore armonico

Risoluzione oscillatore armonico

Imposo condizioni iniziali

Problema di Cauchy → sol. x(t) = _et + 3e^2t

Deve valere A_{e^ate^-atake^-at} A(m2 + k)e^at = 0 → Deve valere ma² + k = 0 - x + k_x=0, w_n = √^k/m pulsazione naturale Normale

Deve valere a2 + u = 0 α_1,2 = ±ix(t) = Ae_{w_nt} + Be^iuw_n > Formule di dfrecos x = e^{jx2^ix_{x= 2sin}x = ^{2i>x_{cos(w_n + i_{at_$}>_{t) = eAe^{x_{e_{aj_{e^{_{_{πw_n}_{i_{2bdt=x_e_{w_n_{>>>e_i(w⁺t)}}}}}}sx_{=0e^{i(-iw_n₀+t_=^eⁱ)}}}}}}}}₂_=e}}i(iu_t),>_+a)²e>

Condizioni iniziali: x0>> = x_{0_cosp_e^e}sinpω_{=e_n}sin_n0sinp>rumox=

Sistemi a 1ddl

Deformazione complessiva: y = Δ + x

Eq. moto: -uẍ - (Δ + x)k + ug = 0

In equilibrio statico vale x = 0 k∙Δ + mg = 0 Δ = ^mg/_k

Sostituisco: -uẍ - (u^g/_k + x)k + ug = 0

uẍ + μu^g - kx = 0

uẍ + kx = 0 -> Eq. dell’oscillatore armonico

Risoluzione oscillatore armonico

Imporre condizioni iniziali

uẍ + kx = 0
x(0) = x₀
x'(0) = x'₀

Problema di Cauchy

PROBLEMA DI CAUCHY -> sol. di Tentativo e^ct, spazio delle sol. di dim. 2

x(t) = Ae^αt + Be^{α' t}

Deve valere: Amα² e^{α t} + ke^{α t} = 0

Se z = 0 -> SOL. BANALI

-ẍ - ^k/_m x = 0, ω_n = ^k/_m

a² + ω₂² = 0 -> α₁, ₂ = iω_n

Integrale generale

INTEGRALE GENERALE: x(t) = Ae^iω_nt + Be^-iω_nt

Formule di Eulero

cos x = ^{e^ix + e^-ix}/₂

sin x = ^{e^ix - e^-ix}/_2i

Porre A = x e^iϑ/₂, B = x e^-iϑ/₂

x(t) = x₀ e^i(ω_nt+ϑ) + e^-i(ω_nt+ϑ)/₂ = x₀ e^iω_nt + e^-iω_nt

Conclusioni

CONCLUSIONI: x = X cos(ω_nt + ϑ)

CONDIZIONI INIZIALI: x₀ = x cos ϑ x'₀ = -ω_nx sin ϑ = -^x₀/_{ω_nx₀}

Oscillatore smorzato

Smorzatore viscoso: F(x)_linearizzo

Equazione caratteristica: mẍ + cẋ + kx = 0

ẍ + c_mẋ + k_mx = 0

ẍ + 2ξω_nẋ + ω_n²x = 0

Ipotesi sol. di Tentativo Ae^αt

α² Ae^αt + 2ξω_n αAe^αt + ω_n²Ae^αt = 0

A (α² + 2ξω_nα + ω_n²) e^αt = 0

Deve annullarsi questo polinomio => α² - 2ξω_n + (ξ² -1)

ξ² -1 >0 => radici reali distinte x(t) = Ae^α₁t + Be^α₂t

ξ² -1 =0 => radici reali coincidenti x(t) = Ae^αt + Bt e^αt

ξ² -1 radici complesse coniugate x(t) = Ae^σt + Be^σt ma x(t) ∈ R

Dalle cond. iniziali: ho x₀ = (A_R + iA_I)e e^α₁t + (B_R + iB_Ie e^α₂t

x₀ ∈ R => A_I - B_I

Inoltre x₀. = A₀ α₁ + B₀ α₂ = (A_R + iA_I)(α_1R + iα_1I) + (B_R + iB_I)(α_2R + iα_2I) = A_R α_1R+iA_Ii+α_1R - A_I = A_R - A_I α_1I + B_Rα_2R-B_Iα_2IB_βR +  (A_R α₁ - B_Rα_1R

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