Meccanica delle vibrazioni NVH - Teoria + esercitazioni

Oscillatore armonico non smorzato

[Indeform.] [Deform.]

Eq dinamico direz. x

- mẍ - k (Δ + x) + mg = 0

• F. inerzia
• Reaz. molla
• F. peso

NB Fare l'equilibrio dinamico significa sommare tutte le forze e porle = 0 (includendo anche la forza inerzia).

Lo significa mettere un sist. riferimento mobile solidale alla massa e di conseguenza la somma di tutte le forze deve essere nulla perché la massa risulta ferma!

Δ = deflessione statica sistema [soppressione forza peso]

X = spostamento dopo aver raggiunto config. equilibrio

Y = X + Δ

Oscillatore armonico non smorzato

Δ deflessione statica sistema [soppressione forza peso]

X = spostamento dopo aver raggiunto config. equilibrio

Y = X + Δ

Eq dinamico direz. x

-mẌ - K(Δ + X) + mg = 0

• F. inerzia
• Reaz. molla
• F. peso

NB Fare l'equilibrio dinamico significa sommare tutte le forze e porle = 0 (includendo anche la forza inerzia).

Lo significa mettere un sist. riferimento mobile solidale alla massa e di conseguenza la somma di tutte le forze deve essere nulla perché la massa risulta ferma!

2) Eq. statico

ẍ = 0

ẋ = 0 _{← per Hp perché definito come spostamento dinamico}

− KΔ + mg = 0 _→ Δ = ^mg∕_K

* Sostituisco in ①

− mẍ − K mg∕K − KX + mg = 0

mẍ + KX = 0 _{Eq. moto (Eq. oscillatore armonico)}

NB In tutti i sistemi lineari (tempo invarianti) si può fare il cambio di variabili (in questo caso y = Δ + X) andando così ad omettere la forza peso nell’equazione del moto.

NB L’equazione del moto dipende da 2 parametri (m, K) _{condizione non ottimale però vado a normalizzare l’equazione dividendo per m}

Normalizzazione dell’equazione

* Ottengo

\( \ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0 \rightarrow \ddot{x} + \omega_n^2 x = 0 \) \( \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} \)

[Nota] La nuova eq. normalizzata dipende da un solo parametro \((\omega_n)\) e perciò la soluzione è di tipo esponenziale.

\( x(t) = A e^{\lambda t} \)

* Sostituisco \( x(t) \) dentro (*)

\( A \lambda^2 e^{\lambda t} + \omega_n^2 A e^{\lambda t} = 0 \)

\( A(\lambda^2 + \omega_n^2) e^{\lambda t} = 0 \)

\( \lambda^2 + \omega_n^2 = 0 \rightarrow \lambda = \pm i \omega_n \)

\( x(t) = A_1 e^{i \omega_n t} + A_2 e^{-i \omega_n t} \)

Integrale generale

* Riprendo integrale generale

X(t) = A₁ e^iω_nt + A₂ e^-iω_nt

NB X(t) deve essere un numero reale perciò A₁ e A₂ devono essere complessi (coniugati).

• Stesso modulo
• Argomento opposto

A₁ = X ^eiφ₂

A₂ = X ^e-iφ₂

* Sostituisco

X(t) = X ^eiφ₂ e^iω_nt + X ^e-iφ₂ e^-iω_nt = X ^{ei(ω_nt + φ)} + ^{e-i(ω_nt + φ)}₂

cos(ω_t + φ)

X(t) = X cos(ω_t + φ)

x₀(0) = 0

Se Ẋ₀ ≠ 0 c’è un ritardo di fase.

X costante nel tempo perché non c’è dissipazione, energia siccome ci sono solo forze conservative.

* Questa rappresentazione vale se Ẋ(0) = 0

Problema di Cauchy

Lo ricavo da problema di Cauchy

{m Ẍ + k X = 0

X(0) = X₀

Ẋ(0) = Ẋ₀

* Considero

{X₀ = X cos φ

Ẋ₀ = -X ωₙ sen φ

{cos φ = X₀ / X

sen φ = -Ẋ₀ / X ωₙ

{cos² φ + sen² φ = (X₀ / X)² + (Ẋ₀ / X ωₙ)² = 1

tg φ = sen φ / cos φ = -Ẋ₀ / X₀ ωₙ

* Ottengo

{X² = X₀² + (Ẋ₀ / ωₙ)² ➔ X = √(X₀² + (Ẋ₀ / ωₙ)²)

tg φ = -Ẋ₀ / X₀ ωₙ ➔ φ = arctg (-Ẋ₀ / X₀ ωₙ)

Modulo e fase

Esempi sistemi 1 gdl

1. Trave - massa

X_st = ^Pl³/