Meccanica delle macchine

Analisi dinamica

Richiami di fisica: approccio di Newton - Eulero

Le equazioni fondamentali sono 2, le equazioni cardinali della dinamica:

∑_iF_ix = ma_x

∑_iF_iy = ma_y

∑_iM_oi = Jθ̈

La somma delle forze che agiscono su un corpo è uguale alla massa per l'accelerazione del corpo stesso. La somma dei momenti di tutte le forze che agiscono sul corpo rispetto a un polo o è uguale al momento di inerzia di questo corpo calcolato rispetto allo stesso polo per l'accelerazione angolare.

Queste equazioni cardinali sono necessarie e sufficienti se parliamo di singoli corpi. Se parliamo di sistemi di corpi, cioè meccanismi, le equazioni non sono sufficienti, quindi, come per la statica, bisogna fare un diagramma di corpo libero. Un'altra differenza con la statica è che il polo o, per il calcolo dei momenti, deve essere il baricentro oppure un punto fisso. Il vantaggio di questo approccio è che dovrò introdurre delle relazioni vincolari. Nel caso in cui dovrò scomporre il meccanismo. Allora, quando è possibile, si utilizza l'approccio energetico.

Richiami di fisica: approccio energetico

Per meccaniche ad l.g.d.l., l'approccio energetico è molto conveniente in quanto non richiede il calcolo delle reazioni vincolari. Se per esempio il sistema meccanico è conservativo, vale il teorema di conservazione dell'energia meccanica:

T(t) + U(t) = E ➔ energia totale

Energie cinetica ➔ T

Energia potenziale ➔ U

E ➔ la somma dell'energia cinetica e potenziale è costante (con approssimazione si può ipotizzare). Non ha lo svantaggio dell'approccio di Newton - Eulero, però mi fornisce una sola equazione scalare, quindi si usa con l.g.d.l. se no più gradi: non mi basterà. I sistemi meccanici sono raramente conservativi, per cui il bilancio energetico si esprime soltanto tramite il teorema dell'energia cinetica:

∑_iL_i = ΔT

La somma di tutti i lavori è uguale alla variazione dell'energia cinetica. In cui i lavori L_i comprendono i contributi positivi delle forze motrici e quelli negativi delle forze resistenti e delle perdite per attrito. Molto spesso questo teorema si scrive in modo differente, viene derivato rispetto al tempo, ed equivale a un'equazione di bilancio di potenze:

∑_iP_i = dT/dt ➔ derivata dell'energia cinetica rispetto al tempo.

Somma delle potenze

Richiami di fisica: approccio di Newton-Eulero

Le equazioni fondamentali sono 2, le equazioni cardinali della dinamica:

∑_iF_ix = ma_x

∑_iF_iy = ma_y

∑_iM_oi = Jθ̈

La somma delle forze che agiscono su un corpo è uguale alla massa per l'accelerazione del corpo stesso. La somma dei momenti di tutte le forze che agiscono sul corpo rispetto a un polo o è uguale al momento di inerzia di questo corpo calcolato rispetto allo stesso polo per l'accelerazione angolare. Queste equazioni cardinali non sono necessarie e sufficienti se parliamo di singoli corpi. Se parliamo di sistemi di corpi, cioè meccanismi, le forze di vincolo non sono sufficienti, quindi, come per la statica, bisogna fare un diagramma di corpo libero. Un'altra differenza con la statica è che il polo o per il calcolo dei momenti deve essere il baricentro oppure un punto fisso. Il vantaggio di questo approccio è che dovrò introdurre delle reazioni vincolari, ma caso in cui dovrò scomporre il meccanismo. Allora, quando è possibile si utilizza l'approccio energetico.

Richiami di fisica: approccio energetico

L'applicazione dell'approccio energetico è molto conveniente in quanto non richiede il calcolo delle relazioni vincolari. Se per esempio il sistema meccanico è conservativo, vale il teorema di conservazione dell'energia meccanica:

E(t) + U(t) = E = energia totale

Energia cinetica

Energia potenziale

La somma dell'energia cinetica e potenziale è costante (con approssimazione supposto attrito). Non ha lo svantaggio dell'approccio di Newton-Eulero, però mi fornisce una sola equazione scalare, quindi si usa con g.d.l. se sono più gradi: non mi basterà. Sistemi meccanici sono raramente conservativi, per cui il bilancio energetico si esprime soltanto tramite un teorema dell'energia cinetica.

∑_iL_i = ΔT

La somma di tutti i lavori è uguale alla variazione dell'energia cinetica. In cui i lavori L_i comprendono i contributi positivi delle forze motrici, e quelli negativi delle forze resistenti e delle perdite per attrito. Molto spesso questo teorema si scrive in modo differente: viene derivato rispetto al tempo, ed equivalente equazione di bilancio di due.