Meccanica dei fluidi - Elementi di idrostatica

Elementi di Idraulica e Costruzioni Idrauliche

Meccanica dei fluidi

Università degli Studi di Trento

Laurea Triennale in Ingegneria Edile – Curriculum Professionalizzante

Corso di Elementi di Idraulica e Costruzioni Idrauliche

A.A. 2017/2018

Nicola Genuin

Sommario

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Idrostatica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

• 0 Nozioni di base ....................................................................................................................................................... 4
• 1 Moto uniforme a superficie libera in condizioni laminari ....................................................................... 5
• Equazioni fondamentali del moto uniforme a superficie libera in condizioni laminari .................................. 6
• Tensione in funzione della profondità ...................................................................................................... 7
• Velocità in funzione della profondità ....................................................................................................... 7
• Velocità media ............................................................................................................................................ 8
• Portata ....................................................................................................................................................... 8
• Velocità in funzione della velocità media ................................................................................................ 8
• Tensione in funzione della velocità media ............................................................................................... 8
• 2 Analisi dimensionale e modellazione ............................................................................................................. 9
• Tipi di problemi .............................................................................................................................................. 9
• Esempio 2.1 ................................................................................................................................................. 10
• Teorema di Buckingham .............................................................................................................................. 10
• Esempio 2.2 ................................................................................................................................................. 10
• Scabrezza relativa ..................................................................................................................................... 11
• Numero di Reynolds ..................................................................................................................................... 11
• Coefficiente di Chezy ................................................................................................................................... 11
• ∗Velocità di attrito ................................................................................................................................... 11
• Parametro di Darcy-Weisbach ..................................................................................................................... 12
• Modelli in scala ............................................................................................................................................ 13
• Numero di Froude ........................................................................................................................................ 13
• Esempio 2.3 ................................................................................................................................................. 13
• 3 Spinta idrostatica .............................................................................................................................................. 14
• Legge di Stevino ........................................................................................................................................... 15
• Spinta idrostatica ...................................................................................................................................... 16
• Teorema di Huygens-Steiner........................................................................................................................ 17
• Appendice A – Momento d’Inerzia .................................................................................................................................. 18
• Momento di inerzia di superficie per figure geometriche piane .................................................................. 18
• Momenti di inerzia, o del secondo ordine, delle sezioni più comuni........................................................... 19
• Teorema di Huygens-Steiner........................................................................................................................ 20
• Dimostrazione .............................................................................................................................................. 20
• Calcolo del momento di inerzia di una superficie piana .............................................................................. 21
• Momento statico .................................................................................................................................... 23
• Esempio A1.1 ............................................................................................................................................... 23
• Esempio A1.2 ............................................................................................................................................... 24
• Esempio A1.3 ............................................................................................................................................... 25
• Esempio A1.4 ............................................................................................................................................... 25
• Esempio A1.5 ............................................................................................................................................... 26
• Momenti di inerzia ...................................................................................................................................... 26
• Esempio A1.6 ............................................................................................................................................... 26

Idrostatica

0 Nozioni di base

Ad un fluido si attribuiscono in genere due grandezze distintive:

• Il peso specifico espresso in 3, /;
• La densità, o massa volumetrica, espressa in 3, /.

Fra queste due grandezze sussiste la relazione: (1) = dove è l’accelerazione di gravità. 2/

Lo sforzo, che indica una forza per unità di area, esprimibile in , si può distinguere in:

= sforzo⊥ = sforzo normale, di pressione, ∥ = sforzo tangenziale

1 Moto uniforme a superficie libera in condizioni laminari

Presa una canaletta nella quale scorre un fluido, sia un volume di controllo, di profondità larghezza e1, lunghezza la cui base risulti inclinata di un certo angolo rispetto ad un riferimento orizzontale disegno 1.2

La forza peso che agisce verticalmente sul volume di controllo, in particolare nella sua componente parallela3 al piano di scorrimento , agirà sullo stesso causando un’accelerazione verso valle . Dunque, detto forza peso il valore dato dalla formula: (1) = la sua componente parallela al piano di scorrimento sarà data da: (2) = sin

Trovandoci per ipotesi in condizioni di moto uniforme, deve essere: (3) − = 0 dove è la forza, uguale e contraria a , che si oppone al moto del fluido, conseguente alla condizione di aderenza alle pareti, e più nello specifico relativa alla base, data da: (4) = 0

Inoltre dalla formula della densità si può ridefinire la massa come segue: (5)= → = = e riscrivere la (3) come unione di (2), (4) e (5): (6) sin = 0 da cui si ricava infine la tensione superficiale alla base del volume di controllo: (7) = sin 0

Per avere invece informazioni riguardanti la velocità del fluido, si necessita di una legge costitutiva del moto ∶ [ ] laminare. Definiti le derivate della velocità, e il coefficiente di viscosità dinamica, per un fluido2 newtoniano vale il legame costitutivo: (8) = 2 [ ]

Al più, introducendo il coefficiente di viscosità cinematica , dato da: (9)= → = il legame costitutivo (8) si può riscrivere come: (10) =

1 Questo angolo sarà lo stesso che la canaletta forma con il medesimo riferimento orizzontale.

2 Asse z del sistema di riferimento esterno

3 Asse x del sistema di riferimento relativo alla canaletta

Da cui si ricava l’equazione differenziale: (11) = ,

A questo punto, dal primo volume di controllo si può pensare di estrarre un ulteriore sottovolume, . intuibile come una fetta di spessore larghezza e lunghezza la cui base risulti parallela a quella di La forza peso su questo sottovolume si calcola dunque con: (12) = Δ e analogamente a quanto detto per la (2), si avrà: (13) = Δ sin

Il sottovolume in questione risentirà, sulle superfici inferiore e superiore, di tensioni diverse in modulo ed4 opposte, dovute alla diversa velocità del fluido alle varie profondità . Dette e rispettivamente le tensioni2 1 superiore e inferiore, ricalcando grossomodo la (3) e di conseguenza la (6), si ha: (14) + Δ sin = 2 1 da cui si ricava facilmente: (15) − 2 1 = − sin Δ .

Che non è altro che l’incremento di al variare di Osservando il limite: (16) − 2 1 lim = Δ Δ→0 si ottiene l’equazione differenziale: (17) = − sin risultante dal bilancio delle forze in moto uniforme, che insieme alla (11) , con due condizioni al contorno, sono le

Equazioni fondamentali del moto uniforme a superficie libera in condizioni laminari

(19) = − sin ( = ) = 0 = ( = 0) = 0

Per quanto riguarda la tensione, integrando la (17) come segue: ∫ = − sin ∫ si ottiene: (20) () = − sin + 1

4 Si pensi all’andamento del profilo di velocità

E ricordando la condizione al contorno espressa nella (19), dall’espressione: (21)() = − sin + = 01 si ricava: (22) = sin 1 dunque il sistema contente la (20) e la (21) da come risultato la formula della

Tensione in funzione della profondità

(23)() = sin ( − ) e in particolare si veda il grafico1, cioè la tensione che si oppone alla componente parallela al piano di0 scorrimento della forza peso , sarà: (24) = (0) = sin 0

Per quanto riguarda invece la velocità, si sfrutta la (23) per riscrivere la (11) come: (25) sin ( − ) sin = = = ( − ) che integrata come: sin ∫ = ∫( − ) da: (26) 2 sin () = [ − ] + 2 2 e ricordando la condizione al contorno espressa nella (19), l’espressione: (27)(0) = = 02 in sistema con la (26) da come risultato la formula della

Velocità in funzione della profondità

(28) sin () = ( − ) 2 = 2; la quale altro non è che una funzione parabolica che si annulla per in particolare, si noti anche grazie = , = 0. al grafico2 che la derivata della velocità si annulla nel punto vale a dire quando

Volendo trovare una formula che definisca la velocità media sulla profondità, cioè determinare il valore della (), velocità che genera sul grafico un’area rettangolare pari a quella sottesa dal grafico di si può sfruttare il concetto di media integrale, ottenendo: (29) 1 = ∫ () 0() che sostituendo con la sua definizione data dalla (28) diventa: 2 2 31 sin 1 sin = ∫ − = [ − ]( ) 2 2 60

Velocità media sulla profondità

(30) 1 sin 2 = 3

Da quest’ultima formula si può derivare anche quella relativa alla

Portata

(31) 1 sin 3 = = 3 × . determinata come un flusso, ovvero il volume che attraversa una sezione piana di dimensioni ,

Inoltre, volendo scrivere la velocità in funzione della velocità media si può sfruttare il rapporto fra questi due termini, ricorrendo alla (28) e alla (30): (32) sin ( − 2)() 1 = → () = 3 (1 − ) sin 1 2 23 ∗ che, definendo come grandezza adimensionale: (33)∗ = ∈ [0,1] può essere riscritta come

Velocità in funzione della velocità media

(34) ∗∗ ∗)( = 3 (1 − )2 ,

Allo stesso modo si può definire la tensione in funzione della velocità media tenendo conto della (24) e della (30): (35) sin 0 = sin 1 23