Meccanica analitica - Appunti

Capitolo 1: Le equazioni di Lagrange

Richiami sulle equazioni di Newton

Sistema di riferimento inerziale: rispetto ad esso un punto non oggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme.

Se su un corpo agisce una forza allora vale _{Op. di Newton}: ma = L_p

N punti materiali: ma_i = F_i (i=1...N)

Equazione di Newton: non è un'identità ma un'equazione funzione differenziale del 2⁰ ordine = determinata il movimento del punto X = X(t) ecc(t) = 1 F(X(t), Ẋ(t), t) → ogni soluzione è univocamente determinata dalla condizione iniziale X(t_o) = o v_o = Ẋ(0)

Spazio degli stati: coppie ordinate di posizione e velocità (X, Ẋ) ∈ R³ x R³

Le equazioni di Newton possono essere riscritte come un sistema di 2 equazioni del 1⁰ ordine nelle variabili aggiuntive: Ẋ = v (mv̇ = F(X, Ẋ, t)) L_p

N punti materiali: {R^3N, R^3N} spazio delle configurazioni: X̄ = (X₁, ..., X_n)

Teorema dell'energia cinetica

Teorema dell'energia cinetica problemi a corpo T = (mv̇) = 1/2 m v² v = 1/2 (v²)

Lung agn esistenza dell'eq. di Newton, in fin = Potenza

((t_n) - T(t_o) = F . v dt

Dim: dappl. questi leggi, via Newton acceleratione per v̇: V̇(ma)(v dt) = dt (mv dt) = dt (mv dt)

Forza posizionale e potenziale

Forza posizionale: F = F(X) → integrale della forze a lavoro a F(X(t)) dx (ta, b) al campione e componendo funzione γ: (ta), (t)(dt)^-1

Forza che permette potenziale: V(X) t.c. F=∇V. D Fr(X(t))dx = -dV.

Caso conservativo Conserv. di energia E=(t+V) - dE=0

Dim: del sapere della fattazione proposta ah

E v_t = ∂V dt = dV = dE

d Termina all'angolo di criticità con la forma T. F . v dt> v

Quindi. (t+V)=0 dh d(t+V)=0 → dE=0

c_Xi(t) a nome di un to di = per tutti i punti di uno momento oriensit ons ai froge ds dⁱ ptra compo

Ad ogni possibile azione dell'equazione Newton se Costante del mon _oer azione = azionamenti. dX^di(t)=v. perdi pione fonio

Nella doppia ded alfa: C(Xⁱⁿ) C spessori di linivel alle

Energía imperfetto in fase

Capitolo 1: Le equazioni di Lagrange

Richiami sulle equazioni di Newton

Sistema di riferimento inerziale: rispetto ad esso un punto non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme.

Se su un corpo agisce una forza F allora vale 2₂ di Newton: ma FL₂

N punti materiali: m_na_n=F_n (n=1...N)

Equazione di Newton: non è un'identità ma un'equazione funzione differenziale del 2⁰ ordine - determinata il movimento del punto X=X(t)è: X(t)=1F(X(t), X(t), t) ogni sol. esizona è unicamente determinata dalle Condizioni iniziali X(t₀)v₀ = X(t₀)

Spazio degli stati: Coppie ordinate di posizione + velocità: (X,v)∈ℝⁿ×ℝⁿ

L'equazione di Newton può essere rinchiusa come un sistema di 2 equazioni del ¹ ordine negli spazi degli stati: [X'v]_t [mv' = F(X, V, t)]L_N

N punti materiali: ∈ ℝ^3N × ℝ^3N---Spazio delle configurazioni; X∈(X₁,....,X_N)

Teorema dell'energia cinetica

Teorema dell'energia cinetica: Problema A corpo T= ½ m'' = ½ m-- Lungo ogni soluzione dell'eq. di Newton a fin T = F·V ≡ F=p≡ F = V · d = F Lavoro

Dim: ri......odia cleq. ..........delle di Neuto......aotolamento pi ...i: V(mv)vdt = (2¹ m) (.....) (2¹ m)dt = (1¹ m)... =...... F

Forza posizionale e potenziale

Forza posizionale: F&sub>r = F(X) (de) l'integrale della forza ....del movimento.X = X(t) esista γ∈(t₀,t₁) al tempo.compisamente trautition: y :(ξ → X(t)(P(y)

Forza che ammette potenziale: i V = V(X) t.c. F&sub>r = -∇V D ............................................. (F(X) dX = ∂V)