Meccanica analitica

16-09-2021 Quando le leggi della meccanica vanno in crisi?

Velocità elevate

In meccanica statistica: N ≥ 6 10²³ particelle

Problemi da 3 corpi non si sa risolvere analitica

Anche per meccanica quantistica, ma dovuto alle nuove leggi, da considerare

Testi consigliati

Meccanica analitica:

• Goldstein, "Meccanica Classica", Zanichelli
• Landau & Lifshitz, "Meccanica", Editori Riuniti
• Feynman, Leighton, Sands, "La fisica di Feynman", Addison-Wesley

Equazioni e caso unidimensionale

F = ma

Caso unidimensionale: f = ma

a = ^du/_dt = ^d2x/_dt²    v = ẋ    a = ^dv/_dt = ẍ

f(x) = mẍ è una equazione differenziale (Il libro della natura è scritto in linguaggio matematico)

x = x(t) è la nostra incognita

Ad es. F = -kx ⇒ ẍ = -^k/_mx

proviamo con x(t) = k²t² - kt² = 1m ? No

x(t) = 2t

x(t) = 2

Esempio: forza peso

Esempio: forza peso

f_p = - p ¢ cost

-p = mẍ ⇒ ẍ = ^-p/_m    x(t) = - ^pt/_m + ^l2/_m

Verifico: ẍ = ^x0/_mt    k = ^p0/_m    ẍ + ^kt/_m

x(t) = ¹/₂gt² (è soluzione)

x(t) = -gt + c

x(t) = -gt + a₁t² + a_t + b

Soluzione completa (soluzione generale) è una famiglia di funzioni (perché comprende le costanti di integrazione) e dipende da 1 parametri (2 come è l'ordine dell'eq. diff.)

Per sapere se il sistema è un dato istante, si impongono le condizioni iniziali.

t : 0 | x(t : 0) = x₀

x(t : 0) = x₀ & ẍ (t : 0) = v₀    Le costanti arbitrarie, a e b, vengono determinate in base a queste iniziali

x(t) = -¹/₂gt² + ẍ⁰ + x(t : 0)

Forza elastica

Forza elastica: F = -kx

-kx = mẍ    ẍ = ^k/_mx

Soluzione dx : θ

x(t) = sin t    x¢ = -cos t    ẍ = sin t = cost    x = -sin t

k = nT    sin t

Ma perché avete scritto sin invece di sen'?

16-09-2021 Quando le leggi della meccanica vanno in crisi?

Valori elevati → in meccanica statistica: N ≥ 6 x 10²³ particelle

Problema di 3 corpi non si sa risolvere analiticamente

Testi consigliati

Meccanica analitica:

• Goldstein, "Meccanica Classica", Zanichelli
• Landau & Lifshitz, "Meccanica", Editori Riuniti
• Feynman, Leighton, Sands, "La fisica di Feynman", Addison-Wesley

Equazioni e caso unidimensionale

F = ma

Caso unidimensionale: f = ma

a = dv/dt = d²x/dt² v = ẋ a = dv/dt = ẍ

F(x) = mẍ è una equazione differenziale (il libro della natura è scritto in linguaggio matematico)

x = x(t) è la nostra incognita

Ad es. F = -kx ⇒ ẍ = -k/m x

proviamo con x = x₁(t) + x₂(t) -kt² = 2m ? No

x(t) = 2t

x(t) = 1

Esempio: forza peso

Esempio: forza peso

F_p = -p⋅cost

ẍ = -p/m = g

ẋ = t

x(t) = a, b²

x(t) = 1/2 t² (è soluzione)

ma non è l'unica

ẋ = -p/m g

x = 1/2 gt²

x(t) = 1/2 gt² + g a + b

soluzione completa (soluzione generale) è una famiglia di funzioni (spazio comprende 1₂ costanti di integrazione) una dipende da 2 parametri (2 come l'ordine dell’eq.diff.)

x₁(t) = 1/2γ² + γta + cost

Per sapere solve se il sistema è un dato istante, si impongono explore condizioni iniziali.

t: 0. x(t₀) = x₀ rela: nel nostro problema

Forza elastica

Forza elastica: F = -Kx

ẍ(dt) = x(t) e = mẍ:→ = k/m

F = -kx ⇒ ẍ = -k/m x

Soluzione x = sin t

ẍ(t) = sin t x = cost

non è ≤ 1

sì +cost -S - sin t - F_K

non può andare bene perché sin, cos, log, funzioni trascendentali -> argomento adimensionale -> lo sviluppo in serie di Taylor dimostra che non va bene : sin t = t. t³/3!, t⁵/5!,

Proviamo: x(t) = sin(wt) [ωt] = t¹ ẋ(t) = v_o cos (wt) ẍ(t) = -ω² sin(wt)

-ω² sin(wt) = k/m sin(wt) ⇒ ω² = k/m -> equazione soddisfatta se ω = √k/m

x(t) = C₁ si