Matrici determinanti e sistemi lineari

2 – Che cos’è una matrice?

Per comprendere il significato e il concetto di matrice, iniziamo considerando la seguente tabella presa da un’estrazione del lotto:

I numeri presenti sono disposti, come si può vedere, su righe e su colonne; essi costituiscono quindi un insieme ordinato di elementi, cioè di elementi.

Per rappresentare un qualsiasi insieme di numeri, ordinato come in una tabella, si usa la scrittura ( ) cioè un quadro composto da righe e colonne e delimitato a destra e a sinistra da due parentesi tonde. Una scrittura di questo tipo viene detta matrice.

Diamo quindi la seguente definizione.

D1 Detti ed due numeri interi positivi e considerati numeri reali, si chiama matrice ( ) (rettangolare) di tipo l’insieme degli numeri considerati, disposti ordinatamente su righe orizzontali e su colonne verticali, tabulati come nello schema seguente ( ) ( ) ⟨ ⟩ ⟨ ⟩.

La i-esima riga è la -pla ordinata, mentre la j-esima colonna è la -pla ordinata.

• Una matrice viene solitamente indicata con la lettera maiuscola.
• I numeri reali, , , , …, in essa contenuti si chiamano elementi della matrice, e vengono indicati con la rispettiva lettera minuscola munita di due indici: il primo indica la riga a cui l’elemento appartiene, il secondo la colonna a cui l’elemento appartiene.
• Il generico elemento di una matrice viene indicato con il simbolo , cioè ( ), con , , …, e , , ….

Le righe e le colonne si contano a partire dall’alto e da sinistra, come è naturale.

( ) ( ) Per esempio, le matrici e sono, rispettivamente, una matrice rettangolare ( ) e una matrice rettangolare di tipo di tipo . Si ha, ad esempio, che nella matrice , , mentre nella matrice ,.

Inoltre, teniamo presente che D2 Si chiama matrice nulla (o matrice zero) una matrice i cui elementi sono tutti nulli.

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Dalla prima definizione si parla anche di matrice di tipo; quindi se consideriamo due generiche matrici, esse devono essere dello stesso tipo (salve diverse specificazioni).

Diamo in proposito la seguente definizione.

D3 Due matrici e si dicono dello stesso tipo quando hanno lo stesso numero di righe e di colonne.

( ) ( ) Per esempio, le matrici e sono dello stesso tipo, in quanto entrambe hanno righe e colonne.

Ovviamente, se due matrici sono dello stesso tipo, allora tutti gli elementi di ugual posto si dicono corrispondenti.

( ) ( ) Per esempio, nelle matrici e gli elementi corrispondenti sono: e , e , e , e così via.

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Matrici particolari

Iniziamo ora a considerare alcune particolari matrici, e diamo in merito una serie di definizioni.

D Una matrice si dice quadrata se il numero delle righe è uguale al numero delle colonne.

In particolare, si chiama ordine (o anche dimensione) di una matrice il numero delle sue righe e delle sue colonne. In altre parole, se è il numero delle righe e delle colonne, si parlerà più propriamente di matrice di ordine (o di dimensione).

( ) Per esempio, la matrice è quadrata e di ordine , oppure si usa dire che ha dimensione .

Se la matrice è di ordine , ossia , la matrice si riduce ad un unico elemento, e dunque coincide ad uno scalare, cioè ad un numero: ( ).

Matrice riga e matrice colonna

I vettori possono anche essere considerati matrici molto semplici, aventi una sola riga oppure una sola colonna. Diamo quindi le seguenti definizioni.

D1 ( ), Si chiama matrice riga (o vettore riga) una matrice di ordine cioè formata da una sola riga.

In sostanza, come dice appunto la parola, si tratta di una matrice i cui elementi sono disposti tutti su una sola riga.

In maniera del tutto analoga D2 ( ), Si chiama matrice colonna (o vettore colonna) una matrice di ordine cioè formata da una sola colonna.

Analogamente, si tratta di una matrice i cui elementi sono disposti tutti su una sola colonna.

( ) ( ) Per esempio, la matrice è una matrice colonna (o vettore colonna), mentre è una matrice riga (o vettore riga).

Matrice trasposta

Diamo la seguente definizione.

D1 ( ), ( ) Data una matrice di tipo si chiama trasposta la matrice di tipo che si ottiene scambiando ordinatamente le righe con le colonne.

Per indicare la matrice trasposta di una data matrice si usa scrivere .

( ) ( ). Per esempio, la trasposta della matrice è la matrice.

La matrice trasposta gode anche di alcune importanti proprietà e che di seguito sintetizziamo.

• La trasposta della trasposta è la matrice stessa: ( )
• La trasposta della somma di due matrici è la somma delle trasposte delle matrici: ( ) Questo risultato è estendibile anche al caso di tre o più matrici.
• La trasposta del prodotto di due matrici è il prodotto delle trasposte delle matrici: ( ) Questo risultato è estendibile anche al caso di tre o più matrici.
• Se è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare della trasposta: ( )
• Se è una matrice quadrata di ordine , la sua trasposta sarà ancora una matrice quadrata.

La trasposta di una matrice è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su vettori; in particolare, in maniera del tutto intuitiva, la trasposta di un vettore colonna è un vettore riga e viceversa.

Matrici uguali. Matrici opposte

Diamo ancora le seguenti definizioni.

D1 Due matrici e dello stesso tipo (ossia aventi lo stesso numero di righe e di colonne) sono uguali, e si scrive , se ogni elemento di è uguale al corrispondente elemento di .

Dalla definizione deriva che, due matrici sono diverse (e scriveremo ), se esse differiscono anche per un solo elemento.

D2 Si chiama matrice opposta di , e si indica con , la matrice, dello stesso tipo di , i cui elementi sono gli opposti dei corrispondenti elementi di .

( ) ( ). Per esempio, la matrice ha come opposta la matrice.

Terminiamo questa prima serie di definizioni, parlando della diagonale principale e della diagonale secondaria di una matrice quadrata. Diamo in merito la seguente definizione.

D3 Se è una matrice quadrata di ordine , si chiama diagonale principale di l’insieme degli elementi , , …, che hanno i due indici uguali.

Si chiama invece diagonale secondaria di l’insieme degli elementi , , …, i cui indici hanno per somma ( ).

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( ) Per esempio, nella matrice gli elementi della diagonale principale sono: , e , mentre gli elementi della diagonale secondaria sono: , e .

Matrici diagonali. Matrici triangolari

Avendo definito la diagonale principale e diagonale secondaria di una matrice, proseguiamo la classificazione considerando altre particolari matrici quadrate. Diamo perciò le seguenti definizioni.

D1 Una matrice quadrata è diagonale se tutti i suoi elementi sono nulli tranne quelli che costituiscono la diagonale principale.

( ) Per esempio, è una matrice diagonale.

Inoltre D2 Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli.

D3 Una matrice quadrata si dice triangolare inferiore se tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli.

( ) ( ) Per esempio, è una matrice triangolare superiore, mentre è una matrice triangolare inferiore.

Matrice scalare. Matrice unità

Diamo inoltre le seguenti definizioni.

D1 Una matrice quadrata si dice scalare se è diagonale e con gli elementi non nulli tutti uguali.

D2 Si chiama matrice unità (o matrice identità), di ordine , la matrice scalare con tutti gli elementi uguali a .

Indicheremo tale matrice con la lettera oppure, eventualmente, con , per specificarne l’ordine.

( ) ( ) Per esempio, è una matrice scalare di ordine 3, mentre è una matrice unità sempre di ordine , che la indicheremo con .

Matrice simmetrica e antisimmetrica

Concludiamo la nostra classificazione andando a parlare di matrici simmetriche e antisimmetriche. Diamo infine le ultime due definizioni.

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D1 Una matrice quadrata è simmetrica se è la trasposta di se stessa.

Una matrice è simmetrica quando si verifica che , cioè quando la matrice e la sua trasposta sono uguali: .

( ) ( ) Per esempio, e sono uguali, per cui è simmetrica.

In particolare, ogni matrice diagonale è simmetrica, in quanto tutti i coefficienti all’esterno della diagonale principale sono tutti uguali.

( ) Per esempio, la matrice diagonale è simmetrica.

In maniera del tutto opposta si parlerà di matrice antisimmetrica. Diamo quindi l’altra definizione.

D2 Una matrice quadrata è antisimmetrica se la trasposta è la sua opposta.

Quindi in modo simile, una matrice è antisimmetrica quando si verifica che , cioè quando la matrice e la sua trasposta sono opposti, cioè: .

( ) ( ) Per esempio, e sono opposte, per cui è antisimmetrica.

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Operazioni con le matrici

Le operazioni che possiamo eseguire con le matrici sono quasi le stesse operazioni che possiamo eseguire con i numeri reali. In realtà, eseguire le operazioni con le matrici può essere fatto solo in determinate condizioni. Vediamole meglio nel dettaglio.

Somma algebrica di matrici

Per poter eseguire la somma algebrica tra due o più matrici bisogna che queste siano dello stesso tipo, cioè (come abbiamo già visto) che abbiano lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne.

In generale, è molto semplice e, forse, anche abbastanza intuitivo. Ad ogni modo, diamo la seguente definizione.

D Si definisce somma algebrica di due matrici e dello stesso tipo (ossia aventi lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne), e si scrive , la matrice, dello stesso tipo di e di , i cui elementi sono la somma algebrica dei corrispondenti elementi delle matrici date.

( ) ( ) Per esempio, se e avremo che: ( ) ( ) ( ) ( )

La somma algebrica tra due matrici, possibile (come abbiamo detto) solo se entrambe le matrici sono dello stesso tipo, gode di alcune importanti (e già note) proprietà.

• Se e sono due matrici di tipo ( ), si ha che: Proprietà commutativa. .

Per esempio, verifichiamo tale proprietà attraverso un semplice esempio.

( ), ( ) ( ) Se e sono due matrici di tipo avremo che: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) da cui abbiamo verificato che: .

• Se , e sono tre matrici di tipo ( ), si ha: Proprietà associativa. ( ) ( ) .

Per esempio, verifichiamo tale proprietà sempre attraverso un semplice esempio.

( ), ( ), ( ) ( ) Se e sono tre matrici di tipo allora: ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( )

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( ) ( ) da cui abbiamo verificato che risulta: .

• Sia una matrice di tipo ( ); per quanto visto in precedenza esiste la matrice nulla, sempre dello stesso tipo, tale che: Esistenza dell’elemento neutro. .

Come avviene per i numeri reali, la matrice nulla è detta elemento neutro rispetto alla somma.

Per esempio, verifichiamo tale proprietà sempre attraverso un esempio.

( ) ( ) Se e la matrice nulla dello stesso tipo, allora risulta: ( ) ( ) ( ). Per quanto detto sopra, resta quindi verificata tale proprietà.

• Per ogni matrice di tipo ( ), esiste una matrice opposta (oppure matrice simmetrica) tale che: Esistenza della matrice opposta. ( ) ( ) .

Per esempio, verifichiamo questa proprietà attraverso un esempio.

( ). Si consideri la matrice. La matrice opposta di è pertanto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Risulta così che:

Prodotto di una matrice per uno scalare

A differenza del prodotto con i numeri reali, per eseguire il prodotto tra due o più matrici bisogna fare alcune distinzioni, in base ai tipi di matrici, perché ciò non sempre è possibile. In particolare, alcune delle note proprietà del prodotto fra i numeri reali non sono altrettanto vere con le matrici.

Iniziamo considerando il prodotto di uno scalare (cioè un numero) per una matrice. Diamo in proposito la seguente definizione.

D ( ) Si definisce prodotto della matrice per uno scalare di tipo (cioè per un numero reale ) la matrice che si ottiene da moltiplicando tutti i suoi elementi per , cioè ( ) ( )

Per esempio, se e si avrà: ( ) ( ) ( )

OSSERVAZIONE.

Essendo i vettori particolari matrici (come abbiamo visto più volte si parla anche di vettore riga oppure di vettore colonna) per essi valgono le stesse e medesime operazioni con le relative proprietà.

( ) L’insieme di tutte le matrici di tipo dotato delle due operazioni di somma e prodotto per uno scalare, con le relative proprietà, rappresenta più propriamente uno spazio vettoriale.

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Prodotto scalare di una matrice riga per una matrice colonna

( ) Iniziamo ora a considerare, nell’ordine, una matrice riga (o vettore riga) di tipo e una matrice colonna (o vettore colonna) di tipo ( ): ( ) ( ) e diamo quindi la seguente definizione.

D ( ) Si definisce prodotto scalare di per la matrice di tipo che ha per elemento il numero che si ottiene sommando i prodotti del tipo , con , , …, : ( ) ∑

In pratica, la matrice ottenuta è uno scalare, quindi un numero.

( ) ( ) Per esempio, se e si ottiene ( ) ( ( ) ( ))

Prodotto di una matrice per un vettore

Abbiamo già visto che se una matrice contiene una sola riga o una sola colonna rappresenta, rispettivamente, un vettore riga oppure un vettore colonna. Nell’eseguire il prodotto di una matrice per un vettore, si hanno risultati differenti a seconda che si consideri un vettore riga o un vettore colonna.

( ) ( ). Sia una matrice di tipo di tipo e un vettore colonna di tipo. Il suo prodotto è ( ) ∑

Il suo risultato è un altro vettore riga.

Analogamente, il prodotto di una matrice con un vettore colonna risulta un altro vettore colonna!

( ) ( ) Per esempio, date le matrici e si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

( ) Questo tipo di prodotto è ampiamente usato in algebra lineare, perché descrive una cosiddetta applicazione lineare (o trasformazione).

( ) ( ) Per esempio, date le matrici e si ha: ( ) ( ) ( )

In questo caso, il risultato ottenuto rappresenta una rotazione di un dato angolo nel piano cartesiano.

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Prodotto di matrici

Quanto detto precedentemente sui vari tipi di prodotti ci permette di poter eseguire finalmente il “vero” prodotto tra due matrici. In questi casi, però, le due matrici devono avere una particolare condizione: il numero delle colonne della prima matrice deve essere uguale al numero delle righe della seconda: in tal senso si parla di matrici conformabili.

Diamo in merito la seguente definizione.

D ( ) ( ), Si definisce prodotto della matrice per la matrice (righe di tipo di tipo per colonne) la matrice di tipo il cui generico elemento si ottiene moltiplicando scalarmente la i-esima riga di per la j-esima colonna di . ∑

( ) Il prodotto tra la -esima riga di e la -esima colonna di così definito viene detto prodotto scalare.

Schematizzando quanto detto si ha ( ) ( ).

Per esempio, vogliamo calcolare il prodotto delle matrici e ( ) ( ). Osserviamo subito che le due matrici sono conformabili, essendo di tipo e di tipo. La matrice prodotto sarà dunque di tipo ( ). Calcoliamo quindi i suoi elementi.

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della prima riga di per la prima colonna di , ovvero ( ) ( )

L’elemento di posto sarà dunque il prodotto scalare della prima riga di per la seconda colonna di ( ) ( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della prima riga di per la terza colonna di , ovvero ( ) ( )

L’elemento di posto sarà quindi il prodotto scalare della prima riga di per la quarta colonna di ( ) ( )

L’elemento di posto , invece, sarà il prodotto scalare della seconda riga di per la prima colonna di , cioè ( ) ( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della seconda riga di per la seconda colonna di , cioè ( ) ( )

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L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della seconda riga di per la terza colonna di , cioè ( ) ( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della seconda riga di per la quarta colonna di , cioè ( ) ( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della terza riga di per la prima colonna di , ovvero ( ) ( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della terza riga di per la seconda colonna di , ovvero ( ) ( )

L’elemento di posto sarà il prodotto scalare della terza riga di per la terza colonna di , ovvero ( ) ( )

Infine, l’elemento di posto sarà il prodotto scalare della terza riga di per la quarta colonna di , cioè ( ) ( )

La matrice così ottenuta è ( )

Le operazioni fin qui definite ci permettono di verificare facilmente alcune importanti proprietà, che di seguito sintetizziamo.

( ), Siano , e sono tre generiche matrici tutte di tipo e e due generici scalari. Valgono le seguenti proprietà.

• Proprietà distributiva del prodotto di una matrice per uno scalare rispetto alla somma di matrici: ( )
• Proprietà distributiva del prodotto di una matrice per uno scalare rispetto alla somma di scalari: ( )
• Proprietà associativa del prodotto di una matrice