Matematica per le applicazioni II - Topologia prima parte

Spazi topologici: definizione e principali proprietà

Gli spazi topologici sono insiemi per tutti gli elementi (detti anche semplicemente punti) dei quali è definito un sistema (ovvero un insieme) di intorni.

Gli intorni di un punto sono sottoinsiemi dello spazio topologico dotati di alcune proprietà, la principale delle quali è che essi debbano contenere il punto stesso.

Gli spazi topologici sono allora strutture molto generali basate sul concetto molto generico di appartenenza.

Uno spazio metrico, come vedremo, è sempre considerabile come uno spazio topologico. Il viceversa non è sempre vero. Le proprietà topologiche degli spazi metrici sono desunte direttamente dai concetti definiti sugli spazi topologici. Gli spazi topologici costituiscono quindi strutture di riferimento basilari.

Gli spazi topologici e la topologia costituiscono la vera anima della matematica. Con i concetti della topologia si possono trattare insiemi di qualunque tipo ed in particolare insiemi costituiti da punti geometrici e da funzioni.

Seguono i concetti fondamentali che definiscono uno spazio topologico.

01 – Sistema d’intorni: un insieme non vuoto

Sia X un insieme diverso dal vuoto. Per ogni x di X sia di sottoinsiemi di X tali che: si dice che è un sistema di intorni di x.

Ogni U appartenente ad si dice intorno di x e il significato dei 4 punti sopra enunciati è il seguente:

• 1 - Un intorno di x è un insieme che contiene x.
• 2 - Se un intorno di x è sottoinsieme di un sottoinsieme di X allora quell’insieme è esso stesso un intorno di x.
• 3 - Se due insiemi sono intorni di x allora la loro intersezione è essa stessa un intorno di x.
• 4 - Dato un intorno di x esiste almeno un altro intorno di x tale che il primo insieme è intorno di ogni punto del secondo insieme. Ovviamente il secondo insieme è sottoinsieme del primo.

02 – Definizione di spazio topologico

Sia X un insieme non nullo e sia l’insieme di tutti i sistemi d’intorni definiti per ogni x appartenente ad X. Allora l’insieme X dotato di questi sistemi di intorni è uno spazio topologico e si indica con. L’insieme dei sistemi d’intorni τ è una topologia definita su X e gli elementi di X si chiamano punti dello spazio topologico.

Vediamo ora alcuni esempi di spazi topologici.

03 - Uno spazio topologico di 3 elementi

= {X}. L’insieme τ =

Sia X = {1, 2, 3} e = {{1}, {1, 2}, {1, 3}, X}, = {X}, } è una topologia per cui { è uno spazio topologico., ,

Graficamente:

04 - Spazio topologico minimale

Per ogni x appartenente ad X. Allora (X; {X})

Sia X un insieme non vuoto e è uno spazio topologico detto spazio topologico minimale o banale.

Per esempio se X = {1, 2, 3}:

05 - Spazio topologico massimale

Sia X un insieme non vuoto e sia P(X) l’insieme potenza di X (ovvero l’insieme di tutti i sottoinsiemi di X). Sia il sistema d’intorni per ogni x appartenente ad X uguale all’insieme di tutti i sottoinsiemi di X che contengono x, cioè. Allora (più precisamente l'unione di tutti i sistemi d'intorni di x dà la potenza di X, cioè, ma il concetto è ugualmente chiaro) per cui (X; P(X)) è uno spazio topologico. Esso è detto spazio topologico massimale o discreto.

Per esempio se X = {1, 2, 3} abbiamo:

Graficamente:

06 - Topologia metrica

Uno spazio metrico (vedi capitolo sugli spazi metrici). Sia una sfera aperta di centro x e raggio r > 0 (la sfera aperta è definita come l'insieme dove è la distanza fra i punti x e