matematica generale schemi di teoria

Insiemistica

Insieme = concetto intuitivo.

X = { Sole, Terzoquadno, Amuleto }

I = { Sole }

Segni

• I ⊆ X ⇒ sottoinsieme
• X^c ⇒ complementare
• X = M ∪ F ⇒ unione
• M ∩ F = ∅ ⇒ intersezione

Insiemi numerici

Numeri naturali NN

NN = { 0,1,2,3,4,5... }

Insieme (per sottoinsiemi).

Lo posso avere un numero finito o infinito di elementi (infinita numerabile).

Addizione e moltiplicazione verificano: proprietà commutativa, associativa, distributiva.

1° (x+2) = x4 + x2

(x4)2 = x(4·2)

Esistenza dell'elemento neutro per la somma: x+0=x, ∀x∈N.

Esistenza dell'elemento neutro per il prodotto: x·1=x, ∀x∈N.

Ordinamento totale "cioè" ∀ x,y ∈ N con x≠y, si ha x<y, o x=y.

• Non vi verifica l'esistenza dell'opposto di un numero: ∀ x ∈ N con x ≠ 0, ∃ y ∈ N tale che x+y=0.
• Non vi verifica l'esistenza dell'inverso di un numero: ∀ x ∈ N con x ≠ 1, ∃ y ∈ N tale che x·y=1.

Infatti ... ... in N non si possono risolvere le equazioni: x+5=3 e 2x=7.

Insiemistica

Insieme = concetto unitario.

X = { Sole, Terremoto, Amleto }

4 = { Sole }

Segni

• 4 ⊂ X ⇒ sottoinsieme
• X^c ⇒ complementare
• X = M ∪ F ⇒ unione
• M ∩ F = ∅ ⇒ intersezione

Insiemi numerici

Numeri naturali NN

NN = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}

Insiemi setori potenziati.

Lo propio ante un numero finito e infinito di elementi (infinita numerabile).

Addizione e moltiplicazione verificano: proprietà commutativa, associativa, distributiva (x.(y+z) = x.y + x.z).

Esistenza dell'elemento neutro per la somma: x+0 = x, ∀x∈N.

Esistenza dell'elemento neutro per il prodotto: x.1 = x, ∀x∈N.

Ordinamento totale, cioè ∀x,y ∈ N con x ≠ y, si ha x < y.

• Non si verifica l'esistenza dell'opposto di un numero: ∀x ∈ N con x ≠ 0, ∃/y ∈ N tale che x+y=0.
• Non si verifica l'esistenza dell'inverso di un numero: ∀x ∈ N con x ≠ 1, ∃/y ∈ N tale che x.y=1.

Infatti...... in N non si possono risolvere le equazioni: x+5=3 e 2x=7.

Numeri interi ℤ

ℤ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

I numeri interi si definiscono a partire dai numeri naturali aggiungendo gli opposti di ogni numero naturale.

Verifichiamo le stesse proprietà con l'addizione:

• ∀x ∈ ℤ, ∃ y ∈ ℤ tale che x+y=0.

Il numero y si indica -x e si chiama opposto di x.

Numeri razionali ℚ

ℚ = { x = p/q, p ∈ ℤ, q ∈ ℕ\{0} }

I numeri razionali si definiscono a partire dai numeri interi prendendo tutti i possibili rapporti col denominatore non nullo.

Verifichiamo le stesse proprietà del moltip:

• Ogni razionale ammette un opposto.
• Ogni razionale non nullo ammette inverso.

Non tutte le lunghezze si possono esprimere attraverso numeri razionali.

Problema delle quantità incommensurabili

Dato un segmento l scelto come unità di misura è possibile misurare ogni altro segmento in rispetto ad esso? x = p/q, con p,q ∈ ℕ ?

Scegliendo come unità di riferimento il lato del quadrato non è possibile misurarne la diagonale.

π non è un numero razionale.

Teorema

La lunghezza della diagonale di un quadrato unitario non è un numero razionale, cioè √2 non è un numero razionale.

Dimostrazione

Dimostrazione → Supponiamo che esistano due numeri p e q primi tra loro ∈ ℕ tali che x = p/q.

Per il Teorema di Pitagora: x² = l² + l² = 2 quindi p²/q² = 2 quindi p² = 2q².

Affermo p² è pari, quindi anche p è pari, cioè p = 2u.

Sostituendo: (2u)² = 2q² → 4u² = 2q².

Affermo q² è pari, quindi anche q.

Assurdo in quanto p e q erano primi tra loro.

Dal punto di vista algebrico, l'irrazionalità di √2 significa che x²-2=0 non ha soluzioni razionali.

Rappresentazioni decimali

I numeri razionali hanno due possibili rappresentazioni decimali:

Rappresentazione decimale finita

¹³/₅=2,6   ⁷/₂=3,5   ³/₄=0,75

Rappresentazione decimale illimitata periodica

²/₃=0,66666...=0,6ˉ   ⁴/₁₁=0,363636...=0,36ˉ

Numeri reali ℝ

L'insieme formato dai numeri razionali e quelli "irrazionali".

L'insieme ℝ coincide con l'insieme delle lunghezze (con segno) di tutti i possibili segmenti.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Modulo o valore assoluto

Il valore assoluto di x ∈ ℝ, x: