Matematica generale - parte 3

Infinitesimi

Una funzione f(x) è infinitesima per x -> x₀ se lim f(x) = 0 x -> x₀.

Esempi di funzioni infinitesime

f(x) = x per x -> 0, lim x = 0, lim x² - 1 = 0 x -> 0 x -> 0.

Infinitesimi simultanei

Se per f(x) e g(x) infinitesimi simultanei (per x -> stesso valore), si parla di ordine di infinitesimi quando x -> x₀.

Se f(x) 0 f = 0 e g più veloce di f, f = 0 e g più veloce di f g -> x₀.

Esempio

lim x^-4 = 0, lim x² - 1 = 0 x -> 0 x -> x₀.

x^-2 / x² = 0.

g più veloce di f, g veloce di f x -> x₀, y = x, x > 0, lim x = 0.

Infinitesimi davvero

P(x) = infinitesimo per x -> x₀ => numero f(x), lim x = 0 x -> x₀.

Calcolare ordine infinitesimi: f(x) = xⁿ ha ordine inf. uno per x = 0, g(x) = x + 1, lim x = 0.

Esempio: e^x = e^x + 1, ordine infinitesimo.

Propagazione degli ordini infinitesimi

Se f(x) e g(x) simultanei di stesso ordine, sono di ordine inf. pari, y = 1.

Infinitesimi

Una funzione f(x) è infinitesima per x -> x₀ se lim_{x -> x0} f(x) = 0.

Esempi di funzioni infinitesime

f(x) = x, x -> 0, lim_{x -> 0} x = 0, x -> 0, x -> ∞.

Infinitesimi similari

Basta f(x) e g(x) per infinitesimi similiari (per x -> stesso valore), se il rapporto fratto l’infinito di f(x) e g(x) transfinite per x -> 0.

Se lim_{x -> x0} [f(x)/g(x)] = 0, f pro e g hanno la stessa velocità di tendere a 0, 0 x -> x₀ [f(x)/g(x)] -> ∞.

f -> o g più veloci di g, x₀, 0 -> 0.

Polinomi

lim_{x -> 0} (x²/x⁴) = ∞.

Se più veloci se g x₀ null → ∞.

Se o più solide di g, x₀ nel y = x³, x -> 0.

È più esponente, più è alto, più alto. Valore sono via le funzione: via di basso l’esponente, più è basso la velocità con cui la funzione si cura.

Infinitesimi ordine

Ho f pi^-f sempli che o quadre x -> x₀, (x -> ∞).

f : f(x) -> x = un numero x -> x₀, x₀ -> ∞, ora obliterabile.

Esempio di ordine infinitesimi

(1) a -> x^-1 è infinita per x -> 0.

P(x) = x^-3, cose x - 0 tra a^-n x -> 0.

(3) f(x) -> o loga(1+x) ab ordine infinitesima per x -> 0.

loga(e + 1 = 0 ∀δ' > 0 |x − x₀| lim f(x) = f(x₀) (uso linguaggio logico Xe poiché la funzione è definita anche su x₀).

Quando una funzione è continua?

Una funzione è continua quando esiste lim x → x₀ per il valore della funzione nel punto x₀.

Decisire l'esprazione gradualente se f(x) è continuativa su x₀ se sono presenti discontinuità:

• Esiste lim⁻ f(x) x → 0.
• Esiste x e xf(x).

Discontinuità eliminabile

Esempio: Data: f(x) x lim f(x) ... lim ... lim(x²) = f(x) ... Dom: x e x ... x ... lim √ (x + 4) (x) = {2 x ‹ 0 x² x = 0 x > 0.

Lim 2 x -1 = 1 ≠ f(0).

O = punto di discontinuità eliminabile o punto di continuità.

Fissa la 2) affermazione.

Discontinuità di prima specie

Lim f(x) ➝ R - Lim f(x) ➝ R = f + l₂.

Se γ ≠ la funzione assume un salto di ampiezza l₂ - l₁.

Esempi

g(x) funzione parte intera superiormente definita (x puri [₂]).

Lim f(x) ➝ π - Lim f(x) ➝ [x] [x] = 1) R_- funzione parte intera inferiormente definita su un sotto intervallo continuo un salto di ampiezza non eliminabile.

Lim e^-x x ≥ 0 2 - x x y = 2 x x = 1 [2] 0/2.

Lim x² -1 e^π ε.

Discontinuità di prima specie

b. Discontinuità su intervallo finito.

Lim f(x) =∞ (è una [∞] successione _n di una immagine su un intervallo reale uscita quando il limite di f(x) è il fonome).

Lim [1/2] =∞.

Funzioni continue in un intervallo

f(x) è continua in un intervallo [a, b] se è continua in x ε [a, b] e se il Lim f(x) = f(b).

Non continua a sinistra destra.

Classi di funzioni continue

equ e funzioni definite ad una legge γ continua nel suo dominio.

β(x) - β(x) l'immagine non continua è un [potto?] fonome.

i^{(3 sin x)}.

Lim_x→∞ = x x - 1/3.

2. se f e β(x) sono continue in [a, b], sono continui e definiscono la funzione.

y = β(x), f(x).

y = β(x) + β(x), f(x) - y = β(x), f(x) - y = β(x), f(x) - y = β(x), f(x), β(x) - y = β(x), β(x), f(x).

y = continume 'x' per un sotto grau (?).

Ricerca dei punti di discontinuità

1. Ricerca del dominio.
2. Individuazione dei punti di accumulazione del dominio che ⊆ al dominio.
3. Calcolo del _{x → x0} lim f(x) e/o _{x→ x^-0} lim f(x).
4. Classificazione della discontinuità sulla base del risultato del limite.

Esempi

1. f(x) = ^{x2 - 1}/_{x(x + 2)}.
2. Dominio = ℝ - {2, 0}.
3. Punti di accumulazione che ⊆ al dominio = {-2, 0, 2}.
4. _x→0^- lim ^{x2 - 1}/_{x(x + 2)} = 0.
5. _x→2 lim x²/x(x + 2).

x = 2 punto di infinito.

x = 0 discontinuità eliminabile per completamento.

f(x) = ^{x2 - 1}/_{x(x + 2)}, x ≠ 0, x ≠ 2.

g(x) = ^{ln(2x + 1)}/_{x(x - 4)}.

1. Dominio = {^-1/₂, 0} ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞).
2. Punti di accumulazione che ⊆ al dominio = {-¹/₂, 0, 1}.
3. _x→^-1/2 lim ^{ln(2x + 1)}/_{x(x - 4)} → ∞.

x = -¹/₂ punto di infinito.

Asintoto orizzontale

Limi sup e così via.

lim (x → 1⁺) (x⁴-1) / x³(x³+1) = -∞.

lim (x → 3⁻) ln(2x-1) = -∞.

x = 3 punto di accumulazione.

lim (2x → 0) = ∞.

Punto di accumulazione x⁴ -1 / x³(x³+1), ln (2x+1).

lim (x → -4⁺) 2x+1 / x⁴ - x + 2x = -4 punto di accumulazione.

Discontinuità di tipo indefinito

Si definisce a più leggi procediamo in questo modo: Calce si indicano sulla scenda i punti di accumulazione del dominio, che è il domino, si anziano con cercato.

funz. {x | x x = 1.

Dominio: R - {0}.

Punti di accumulazione che ≠ al dominio {0}.

Punto su cui muta la legge di definizione {1}.

Limiti e punti di discontinuità

Discontinuita' di tipo indefinito.

Punto di accumulazioni che ない al dominio: 0.

Punto su cui muta la legge di definizione 1.

leggi: ln |x| = 0 x = 0 punto di discontinuita'.

La funzione decresce in un punto comune punto esterno.

Teorema di Weierstrass

f(x) è continua in [a;b].

f(x) assume max e min assoluti.

Funzione continua cambia solo nel max e min relativi però potrebbe rappresentare dei punti di assunzione locali ai minimi assoluti.

Teorema di Darboux

f(x) è continua su [a,b].

f(x) si assume alla valori compresi tra il min e il max nell'intervallo.

Funzione smussi e Weierstrass ma non assunzione solamente sui valori compresi nell'intervallo.

Se si assume funzione continua e non assunzioni allora sono assunzione sulle punte.

Equazione della retta passante per due punti

A. (x₁, y₁) B. (x₂, y₂).

y - y₁ = ^{y₂ - y₁}/_{x2 - x1} (x - x₁).

y₁ - y₁ = ^{y₂ - y₁}/_{x2 - x1} (x₂ - x₁).

y₁(x₂ - x₁) + (y₂ - y₁)x₁ = x (y₂ - y₁).

equazione implicita della retta.

equazione di I grado.

Equazione fascio di rette per P

(x₀, y₀) y₀ y₁ m (x₀ x).

Retta tangente alla curva y = f(x)

in (x₀, f(x₀)).

y = f'(x₀)(x - x₀).

y = y₀ f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀).

f(x) = x² + 2x.

x₀ = 1.

f :(1 + Δx) = (1 + Δx)² + 2 (1 + Δx) = 1 2x Δx + (Δx)² + 1 2Δx 2 = 3 + 4(1 0 x).

y = 4x - 4 · 1 3 y₀ = 4(x - 1).

f(x) = 1.

x₀ = 0.

f 1₀: f(x) = 1 ƒ(x) = 0.

limit_{(x -> 0)}  0/2x.

equazione di I grado.

equazione di I grado.

y - 3 =(x - a) 4.1 per y = 2x +1.

x₀ x₀ Δx x 0 0 0 0 Δx x 0 x 0 x₀.

Derivata di una funzione in un punto x₀

limit_{(x -> 0)}.

Detto x = x₀ ≟ x0+X e dominio di YA(x₀, (f(x₀)) B (x₀+ Δx, f(x₀)).

rapporto di derivabilità.

Δf | ^{(x₀+ Δχ, f(x}/sub>0)).

coefficiente angolarmre delle cortxe tangente la culvis quando è variabile la funzione in un punto da ▲ A e b, una suiparagoli limit_{(x -> x0)} f(x₀+ Δx) - ƒ(x₀) deutsch: l Es di einer deltaform = f'(x₀).

Punti di non derivabilità

• Punti cuspide.

limit_(h->0+) ƒ(x₀+ Δχ, f(x₀)) limit_(k->0-) f'(x₀) - f(0).

Esempio

y = f(x).

y = f'(x₀))2011.