Matematica generale - parte 1

Logica matematica

Proposizione: affermazione che può avere solamente due possibilità: o solo vera o solo falsa. Non ammettono valutazioni soggettive.

Esempio

P: "2 è un numero pari" → Falsa.

Q: "0 è un multiplo di 3" → Vera.

Se il soggetto è indicato con una lettera si dice che la proposizione è decidibile.

Esempio

P: "n è un numero divisibile per 3"

n = 6 è vera.

n = 8 è falsa.

• Proposizioni semplici: soggetto + predicato.
• Proposizioni composte: combinazioni di più affermazioni che devono verificare un certo rilevamento.
• Altrimenti: combinazioni di più proposizioni semplici mediante operazioni logiche.

Proposizione equivalente

Date P e Q diciamo che le due proposizioni sono equivalenti se in corrispondenza allo stesso soggetto hanno lo stesso contenuto di verità.

Esempio

P: "n è un numero divisibile per 3"

Q: "n è un numero tale che la somma delle cifre che lo compongono è divisibile per 3"

P e Q sono equivalenti in quanto sono due affermazioni che dicono la stessa cosa in modi diversi.

Logica matematica

Proposizione: affermazione che può avere solamente due possibilità: o solo vera o solo falsa. Non accettano valutazioni soggettive.

Esempio

P: "n è un numero pari" → falsa.

Q: "6 è un multiplo di 3" → vera.

Se il soggetto è indicato con una lettera si dice che la proposizione è decidibile.

Esempio

P: "n è un numero divisibile per 3"

n = 6 è vera.

n = 8 è falsa.

• Proposizioni semplici: soggetto e predicato.
• Proposizioni composte: combinazioni di più affermazioni dove devono verificarsi almeno una certa rilevanza.
• Altre: combinazioni di più proposizioni semplici mediante operazioni logiche.

Proposizione equivalente

Date P e Q diciamo che le due proposizioni sono equivalenti se in corrispondenza allo stesso soggetto hanno lo stesso contenuto di verità.

Esempio

P: "n è un numero divisibile per 3"

Q: "n è un numero tale che la somma delle cifre che lo compongono è divisibile per 3"

P e Q sono equivalenti in quanto sono due affermazioni che dicono la stessa cosa in modi diversi.

Somma logica

Dato P e Q si dice somma logica di P e Q e si indica col P∨Q la proposizione che è vera se almeno una della proposizioni è vera.

Esempio

P: "n è un numero divisibile per 3"

Q: "n è un numero divisibile per 2"

P∨Q: "n è un numero divisibile per 3 ❦ n è un numero divisibile per 2"

Tabella di verità

Prodotto logico

Dato P e Q si dice prodotto logico di P e Q e si indica col P∧Q la proposizione che è vera se e solo se entrambe le proposizioni P e Q sono vere.

Esempio

P: "n è un numero divisibile per 3"

Q: "n è un numero divisibile per 2"

P∧Q: "n è un numero divisibile per 3 ❯ n è un numero divisibile per 2"

Tabella di verità

Negazione

Si dice negazione di P e si indica non P la proposizione che è vera se P è falsa e falsa se P è vera.

Esempio

Implica

Date P e Q, si dice che P implica Q e si indica P → Q se quando P è vera risulta vera anche Q. In questo caso si dice che P è condizione sufficiente per Q.

Esempio

P: "n è un numero divisibile per 10"

Q: "n è un numero divisibile per 5"

P → Q = P è condizione sufficiente per Q. P implica Q.

Q ↛ P = Q non implica P.

Esempio

P: "x è un numero | A(x) > 0 e B(x) > 0"

Q: "x è un numero | A(x) / B(x) > 0"

P → Q

Q ↛ P

Se P → Q e Q → P allora P è condizione necessaria e sufficiente per Q.

P ↔ Q

Le proposizioni hanno lo stesso contenuto di verità e quindi si dicono equivalenti.

Esempio

P: "x è un numero | x ≥ 1"

Q: "x è un numero | ln x > 0"

P ↔ Q

Teorema

Un teorema è un'affermazione con la quale si stabilisce che vale l'implicazione tra una proposizione (ipotesi) e un'altra proposizione (tesi):

ip => th

• Dimostrazione diretta - calcoli.
• Dimostrazione per assurdo: assumendo vera ip ∧ (¬th), si arriva a dire che ip ∧ (¬th) è falso.

Insiemi

È composto da elementi che devono verificare una certa proprietà. Gli insiemi si indicano con lettere maiuscole mentre i loro elementi con lettere m