Matematica generale

1. Numeri reali, numeri complessi ed equazioni algebriche

1.1. Qualche elemento di logica formale

Þ a b (a, b affermazioni suscettibili di essere “vere” o “false”)

a implica b: se a è vera, b è vera

se ad accade, b accade

se mai dovesse succedere che ad accada, allora di sicuro accadrebbe b

a è condizione sufficiente per b; b è necessaria per a (se b non è vera, a non può essere vera)

un’implicazione logica non si può capovolgere

non(a) è vera (accade) se e soltanto se a non è vera (non accade)

le implicazioni si invertono passando alle negazioni: Þ Þ se a b allora non (b) non (a)

ciò che è sufficiente può non essere necessario (segnare tre goal più dell'avversario)

ciò che è necessario può non essere sufficiente (segnare almeno un goal)

supponiamo che C sia l’insieme dei punti che rappresentano C tutti gli stati del mondo

quando si verifica uno stato corrispondente ad un punto che sta in A, diciamo che A si è verificata

AB se si verifica A di sicuro si verifica B

Þ A B A è condizione sufficiente di B

B è condizione necessaria di A

1.2. Gli insiemi privi di struttura

come faccio a definire un insieme?

Il primo modo è facendo un elenco completo dei suoi elementi

elencazione completa: I = {a, b, c}

questo metodo non funziona con insiemi molto grandi o, in particolare, per insiemi che non hanno un numero finito di elementi

N è un insieme che non ha un numero finito di elementi

esemplificazione: N = {1, 2, 3, ...}

l’altro modo è dare la legge, la regola che permette di formare tutti gli elementi dell’insieme

ô Î ô si legge: I = {2n + 3 n N} N.B.: legge “tale che”

ossia, esemplificando: I = {5, 7, 9, 11, ...}

fra tutti gli insiemi c’è l’insieme vuoto

Æ " Ï Æ " = insieme vuoto: x, x N:B: : si legge “per ogni”

Non si dice “un insieme vuoto” in quanto esso è unico, di conseguenza si usa dire “l’insieme vuoto”

gli insiemi sono un oggetto di studio della matematica

l’insiemistica è una branca della matematica

si parla di insiemi privi di struttura, in quanto sono degli elenchi di oggetti sulla cui natura spesso non so niente

più si arricchisce la struttura, più diventa utilizzabile

ci si può chiedere se un insieme è il sottoinsieme di un altro

I è un sottoinsieme di J se e soltanto se tutti i suoi elementi sono anche elementi di J

Í Î Þ Î Þ I J : x I x J N:B: : si legge “implica”

Í si legge “è incluso” (inclusione impropria)

inclusione propria (c’è inclusione, però I è diverso da J): Ì Í ¹ I J : I J e I J

(uno è un sottoinsieme dell’altro, ma non coincide con l’altro; allora è un sottoinsieme proprio)

Î Þ Î $ Î Ï $ (o: x I x J, y J, y I) N.B.: si legge “esiste (almeno un)”

È Î È Û Î Î Û I J insieme unione: x I J x I o (“vel”) x J N.B.: si legge “se e solo se”

Ç Î Ç Û Î Î I J insieme intersezione: x I J x I e x J

È Ç È Æ Ç Æ Æ per ogni I: I I = I, I I = I, I = I, I =

Í Þ È Ç I J I J = J, I J = I

C È Ç A A B =B, A B = B

B È Ç A B = tutto, A B = il pezzo al centro

BA % Í { Î ç Ï } I J: = x J x I

I ( #)% : complementare di I dentro J (pezzo di J che non sta in I)

I ( #) % % % È Ç Æ Þ Æ I = J, I = I = J = I I I ( ( (#) #) #)

se un insieme rappresenta una proposizione, il suo complementare (entro lo spazio di tutti i possibili stati del mondo) ne rappresenta la negazione

posso contare gli elementi di un insieme, in tal caso si dice che è un insieme finito

può succedere che l’insieme contenga infiniti elementi

1.3. Numeri naturali, numeri interi e numeri razionali

0 da molti matematici non è considerato un numero naturale

numeri naturali: 1, 2, 3,

N = {1, 2, 3, ...} insieme dei naturali

si indica con N l’insieme dei numeri naturali

un insieme I è definito quando sia assegnata una legge per la quale in presenza di un qualunque oggetto x siamo in grado di stabilire quale delle due affermazioni (mutuamente esclusive) sia vera:

Î Ï x I o (“aut”) x I

si può anche dire x è (aut non è) elemento di I

in presenza di I e x devo essere in grado di stabilire senza ambiguità e incertezze se è vero che x è un elemento di I o se è vero che x non è elemento di I

Î ® simbolo di Peano Î Û x N x è un numero naturale

l’insieme dei numeri naturali non è un insieme privo di struttura, è un insieme del quale conosco bene gli elementi (numeri)

N è un insieme con una struttura algebrica, con una struttura di operazioni (somma e prodotto)

Î Þ Î a, b N a + b N

Î a x b N

proprietà operazioni

" Î commutatività: a, b N, a + b = b + a

Î Þ (a, b N a + b = b + a)

" Î associatività: a, b, c N, (a + b) + c = a + (b + c)

ha senso scrivere a + b + c

" Î distributività: a, b, c N, (a + b) c = ac + bc

Î Þ N 1: a N 1a = a

∋1 = neutro moltiplicativo

0 = neutro additivo

Î " Î (0 N? a N, 0m + a = a)

N è chiuso rispetto a somma e prodotto, ma non rispetto a differenza e quoziente

Î se a, b N, non sempre a – b ed a/b sono in N

{…, insieme dei numeri interi: Z = -2, -1, 0, 1, 2, …}

0 è un numero intero

dal punto di vista algebrico è più ricco di N

è possibile far somme, prodotti e sottrazioni

è chiuso rispetto a somma, differenza e prodotto (ma non rispetto al quoziente)

ogni elemento ammette inverso additivo:

" Î $ Î ï a Z, ! b Z a + b = 0

(b = -a)

N.B.: ! si legge “esiste uno e uno solo”

inverso additivo: numero che sommato ad a mi dà 0 (neutro additivo)

il prodotto di interi è sempre intero

dato un intero a posso trovare sempre un intero b tale che ab = 1? no, solo 1 x 1 e -1 x -1

per il prodotto il neutro è 1

per la somma il neutro è 0

Z contiene N come sottoinsieme proprio, ma è equipotente con N

Z e N sono insiemi con infiniti elementi

Z ha la stessa cardinalità di N (Z è equipotente di N)

Z e N sono due insiemi che si possono mettere in corrispondenza biunivoca tra di loro

corrispondenza biunivoca: legge che ad ogni elemento di uno associa uno ed un solo elemento dell’altro

N è il contatore universale, per questo 0 non è naturale

se due insiemi si possono mettere tra di loro in corrispondenza biunivoca si dirà che uno è equipotente dell’altro, hanno la stessa cardinalità (se sono finiti: lo stesso numero di elementi)

un insieme che ha la stessa potenza di N è numerabile

un insieme si definisce numerabile se si può mettere in corrispondenza biunivoca con tutto N, quindi è fatto di infiniti elementi (infinito di primo livello)

Z è numerabile: ¬® Z N

…, -2, -1, 0, 1, 2, …

…, 5, 3, 1, 2, 4, …

(l’intero -2 ha naturale 5, l’intero -1 ha naturale 3, …)

{ ê Î ¹ } insieme dei numeri razionali: Q = m/n m, n Z, n 0

è l’insieme dei quozienti m diviso n, con m ed n numeri interi e n obbligatoriamente diverso da 0

è chiuso rispetto a somma, differenza, prodotto e quoziente

numeri razionali: quozienti tra numeri interi

il numeratore mi dice quanti, il denominatore di cosa

c’è lo 0 e inverso additivo (sommato da 0)

ogni elemento ammette (non solo inverso additivo, ma, se non è 0, anche) inverso moltiplicativo (moltiplicato da 1) " Î $ Î ê a Q, ! b Q ab = 1

(b = 1/a)

(per ogni numero razionale a esiste ed è unico, un altro razionale b che moltiplicato per a dà 1)

Q è un insieme più grosso di Z, perché ogni numero intero è razionale

Ì Ì N Z Q

Q è un sottoinsieme che contiene Z come sottoinsieme proprio, tutti con la potenza del numerabile

dentro Q si può fare la sottrazione

la sottrazione è una forma di addizione, perché a – b = a + (- b)

- b : inverso additivo di b

lo stesso di può dire del quoziente a/b = a x (1/b)

1/b : inverso moltiplicativo di b

1.3.1. Numeri irrazionali

in Q ci sono dei problemi che non si possono risolvere in Q

un numero razionale è una frazione

il quoziente può essere indicato come frazione oppure si può risolvere la divisione per passare ad un numero decimale

quando si passa alla rappresentazione decimale di un numero razionale possono verificarsi soltanto due eventualità:

• Dopo la virgola c’è un numero finito di cifre significative
• Oppure il numero è periodico

è vero pure viceversa, se un numero è periodico ammette la chiamata “frazione generatrice”

un numero irrazionale è un numero non periodico nella cui rappresentazione decimale c’è un numero infinito di cifre significative dopo la virgola

! # es: 2 , 17 ; π, e $

"! ® questa espressione non definisce un numero, ci sono i puntini. Posso però dire: 2 = 1,4142136

"! ® approssima per eccesso o per difetto

2 ≈ 1,4142136

"! non può essere definito mediante la sua rappresentazione decimale, ma per esempio dicendo che è 2" la lunghezza della diagonale di lato 1 oppure dicendo che è quel numero positivo che, moltiplicato per sé stesso, dà 2

® rapporto di una circonferenza al diametro

π ® area del cerchio di raggio 1

= 3,14 …

≈ 3,14

® numero di Nepero (in Italia)

e ® numero di Eulero (all’estero)

1.4. I polinomi e le equazioni algebriche

in questo ambiente possiamo definire il concetto di polinomio

polinomio p(x) di grado n (> 0) in una indeterminata a coefficienti interi (razionali)

è un’espressioni di questo tipo: & &'( p(x) = + + ⋯ + + dove a, b, c e d sono i coefficienti (numeri interi/razionali)

x è l’indeterminata o variabile, una quantità non assegnata

si possono considerare polinomi in più indeterminate (x, y, z)

un polinomio di grado 0 è 1, non c’è la variabile (o indeterminata), ma solo il termine noto (la costante)

la natura profonda del polinomio è che contiene una quantità variabile, il che vuol dire che una equazione di questo tipo è suscettibile di assumere valori diversi a seconda del valore che gli si vuole dare alla x

è un concetto che ha senso in Z o in Q, perché coinvolge solo le operazioni di somma e prodotto

& &'( invece di usare la notazione p(x) = è più intelligente usare: + + ⋯ + + ,!! !"# # # #() = + + ⋯ + = * = * = * ! !"# # $ # # #%%&$( ∈ = 0, 1, … , )%

cambiano i nomi dei coefficienti)

coefficiente di :x a *

coefficiente del termine di primo grado: a(

termine noto: a +

å : sigma (somma)

i : indice variabile in base al quale si somma,

es: p(x) = + 1x )) (x )x ∈ p(x = a + a x + a+ + ) + ( + +) )

è il valore che il polinomio assume quando al posto della variabile ci si mette il numero p(x p(x x+ + +,

es: (x) = + 1; x = 2; + ,) p(x = p(2) = 2 + 1 = 9+

si chiama zero di un polinomio un numero, un valore della x (se esiste), che rende 0 il polinomio

Û zero di p(x) p(x ) = 0 x + +

si chiama in generale equazione in una incognita un’uguaglianza tra due espressioni contenenti una quantità indeterminata (incognita)

si può anche definire come un’uguaglianza tra 0 e un’espressione contenente un’incognita

f(x) = g(x) ⟺ (x) − g(x) = 0 ⟺ (x) = 0

è, in generale, soddisfatta quando al posto della variabile si assegnano certi valori, e non sia soddisfatta quando si assegnano altri valori (soluzioni dell’equazione)

si definiscono soluzioni dell’equazione quei valori della variabile, se esistono, che rendono soddisfatta l’uguaglianza

differenza tra variabile, indeterminata e incognita: la x in sé è variabile, quando devo trovare dei valori che soddisfino l’equazione (F(x) diventa incognita= 0)

quantità incognita: quantità da calcolare per rendere soddisfatta una qualunque equazione che contiene una variabile

tra tutte le possibili espressioni che contengono una variabile, le più semplici sono i polinomi perché fanno riferimento soltanto alle operazioni base di somma e prodotto

le equazioni algebriche si ottengono uguagliando un polinomio a 0

una equazione algebrica è un polinomio uguagliato a 0

si chiama equazione algebrica di grado n in una incognita, a coefficienti interi (razionali), un polinomio in una indeterminata di grado n uguagliato a 0

una soluzione di una equazione algebrica è uno zero del polinomio

p(x) = 0

Û soluzione di p(x) = 0 zero di p(x) x x+ +

ogni equazione algebrica a coefficienti razionali è equivalente ad una a coefficienti interi:

- -2/3 x − 1/4 x = 0 ⟺ 8x − 3x = 0

le equazioni algebriche a coefficienti interi hanno senso in Z (e in Q)

entro Q, le equazioni a coefficienti interi di 1° grado sono sempre risolubili:

ax + b = 0

con a e b interi

¹ se a 0: x = -b/a (1 ! soluzione)

se a = 0: non è una equazione di 1° grado, x sparisce

i casi sono 2:

• ¹ Se b 0, 0 soluzioni
• ¥ Se b = 0, soluzioni "x)(

è una equazione identicamente soddisfatta: 0x = 0

se il grado è > 1, non è più vero che tutte le equazioni di secondo grado siano risolubili in Q

-x − 9 = 0 ⟹ = ±3

-x − 2 = 0 ⟹? N√2 ∉ R

1.5. I numeri reali

l’insieme dei numeri reali R è l’unione di Q e dell’insieme degli irrazionali

N⊂⊂⊂

algebricamente le operazioni sono sempre le stesse

R è chiuso rispetto a somma e prodotto e passaggio agl’inversi

ogni reale ammette opposto

ogni reale diverso da 0 ammette reciproco

R non ha più la potenza del numerabile, R ha potenza superiore al numerabile che prende il nome di potenza del continuo

R ha tanti elementi quanti una retta

si chiama reale algebrico un numero reale che sia radice di un’equazione algebrica a coefficienti interi

- . ,(x − 2 = 0; x − 17 = 0)

® è un numero irrazionale che ha diritto di chiamarsi reale algebrico

√2# ® è un numero irrazionale che ha diritto di chiamarsi reale algebrico

17$ ® fanno parte di un’altra categoria di irrazionali

π, e ® sono trascendenti

® non sono reali algebrici, non si possono trovare come soluzione a un’equazione algebrica a coefficienti interi

i numeri razionali hanno la potenza del numerabile, aggiungendo gli irrazionali diventa la potenza del continuo

l’insieme dei numeri reali algebrici ha la potenza del numerabile, al contrario, i numeri trascendenti hanno la potenza del continuo (sono molti di più)

l’insieme dei numeri razionali è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto, l’insieme degli irrazionali no

- è risolubile − 2 = 0

- -(o non è risolubile nell’insieme dei reali + 2 = 0 + 1 = 0)

1.6. I numeri complessi

un numero complesso è un’espressione di tipo dove a e b sono due numeri reali e è un numero + , - nuovo e si definisce in base a = −1 -

{ = + |, ∈ ; = −1}⊂⊂⊂⊂

i numeri complessi sono anche detti numeri immaginari

un numero reale è un particolare numero complesso

l’insieme dei reali è un sottoinsieme proprio dei numeri complessi

C ha la stessa potenza di R, ma non è un insieme ordinato (al contrario di N, Z, Q e R)

mentre i numeri reali si visualizzano come punti su una retta, i numeri complessi si visualizzano come punti del piano (ha un’ascissa e una ordinata)

questa rappresentazione prende il nome di piano di Argand-Gauss

ogni numero complesso corrisponde a un numero ordinato del piano

struttura algebrica:

/ / / = + ∈ ; = + ∈ posso fare somme, prodotto e sottrazione

/ / / / / /( ( ) ( ) ) + = + ) + + = + + ( + = + ∈

/ / / / / / / / / / - /( ) ) ) = + )( + = + ( + + = + ( + +

/ / / / /)= − + ( + = +

/ /(−1) (− )− = = − − = − +