Matematica generale

Appunti di matematica generale per economia

1. Insiemi e numeri

1.1 Tipi di numeri

• N ℕ: 0,1,2,3,... 0,1,2,3,... Naturali (N): 0,1,2,3,...
• Z ℤ: ...,−2,−1,0,1,2,... ...,-2,-1,0,1,2,... Interi (Z): ...,−2,−1,0,1,2,...
• Q ℚ: a/b, a/b, a∈Z, b≠0. Razionali (Q): numeri frazionari b/a, con a∈ ℤ, b ≠ 0, a∈Z, b =0
• R ℝ: Reali (R): comprendono tutti i numeri razionali e irrazionali
• C ℂ: a+bi, a + bi, i²=−1, i² = -1. Complessi (C): a+bi, con i²=−1

1.2 Operazioni sugli insiemi

• Unione: A∪B={x∣x∈A o x∈B}, A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}, A∪B={x∣x∈A o x∈B}
• Intersezione: A∩B={x∣x∈A e x∈B}, A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}, A∩B={x∣x∈A e x∈B}
• Differenza: A∖B={x∣x∈A e x∉B}, A \setminus B = {x | x ∈ A e x ∉ B}, A∖B={x∣x∈A e x∈/B}
• Complemento: A^c=U∖A, A^c = U \setminus A, con U universo

2. Funzioni

2.1 Definizione

f:X→Y, f: X \to Y

Una funzione è una relazione f:X→Y che associa a ogni elemento x∈X, x ∈ X, un unico elemento y∈Y, y ∈ Y, scritto y=f(x), y = f(x).

2.2 Tipi di funzioni

• Lineare: f(x)=ax+b, f(x) = ax + b
• Quadratica: f(x)=ax²+bx+c, f(x) = ax² + bx + c
• Polinomiale: f(x)=a_nxⁿ+...+a₀, f(x) = a_n xⁿ + ... + a₀
• Esponenziale: f(x)=a^x, f(x) = a^x
• Logaritmica: f(x)=log_ax, f(x) = \log_a x
• Razionale: f(x)=P(x)/Q(x), f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, f(x)=Q(x)P(x)

2.3 Proprietà delle funzioni

• Dominio: insieme dei valori x per cui f(x) è definita
• Codominio: insieme dei valori possibili f(x)
• Iniettività: valori diversi di x danno valori diversi
• Suriettività: ogni elemento del codominio è raggiunto
• Monotonia: crescente o decrescente
• Pari/Dispari: f(−x)=f(x) (pari), f(−x)=−f(x) (dispari)

3. Limiti e continuità

3.1 Limiti

lim_x→af(x)=L, \lim_{x \to a} f(x) = L, x→a lim f(x)=L, x x, a a, f(x) f(x), L L.

Significa che quando x si avvicina ad a, f(x) si avvicina a L.

Limiti notevoli:

• lim_x→0sin x/x=1, \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, lim_x→0 x/sinx =1
• lim_x→∞(1+1/x)^x=e, \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e, lim_x→∞