Matematica finanziaria (dalle leggi di attualizzazione alla matematica attuariale )

Matematica finanziaria

La matematica finanziaria studia le operazioni finanziarie, che sono scambi di moneta contro moneta che si protraggono nel tempo (do moneta e ricevo moneta).

Questi scambi hanno un inizio e una fine: ho bisogno di 2 soggetti economici (E e B), prestazione e controprestazione.

E e B sono due soggetti economici: all’istante T0, E affida il capitale C0>0 a B, che si impegna a restituire il capitale C1> C0 all’istante T1> T0. prestazione controprestazione

La transazione che si muove da E a B si dice, la restituzione da B a E si dice.

Il capitale oggetto della prestazione è C0>0 (l’ammontare può essere 0 o superiore, mai inferiore).

E e B utilizzano un criterio con cui regolamentare lo scambio di partite monetarie distinte in tempi diversi. (T0,C0) (T1,C1).

In tale senso, è opportuno costruire un legame funzionale tra le 2 situazioni finanziarie e

Asse dei tempi

1. Visualizzazione grafica: è una retta orientata. Per convenzione gli istanti di tempo si segnano con dei punti e si indicano con lettere maiuscole.

(T0-T0 = T0; T1-T0=T1; T2-T0= T2 …) }/ .- .TiIo Tz ✗

La distanza si indica con lettere minuscole (tempo trascorso), risulterà: ' _ )-.to ta t2 ×

ES. Assumiamo di utilizzare l’anno come unità di misura di tempo e supponiamo che sia: }/ .- .TiIo Tz ✗

1/1/2020 1107120211/2/2021

Risulterà (tempo trascorso): }/ .- .to tat ✗,11-6%2/2° 1+1112

In sintesi:

• Con Ti; i=0,…,n istanti. indichiamo gli
• Con ti; i=0,…,n tempo tra istanti. indichiamo il
• Anni(1), mesi (12) e giorni(30), misuriamo il tempo in mesi e giorni saranno, dunque, frazioni di anno.

Per i tempi si assume 0 ≤ t1 ≤ 1 ossia, potrebbe essere: /

• T1=t2=0 IÒ particolari casi
• 0=t1=t2 - traO
• 0<t1≤t2 )i _tio

Leggi di capitalizzazione

Nozioni

• Il capitale C≥0 è l’oggetto della prestazione (no negativa); \
• Il montante M> C è l’oggetto della contro-prestazione funzione di montante è il in iniziale C. il grandezze Queste 3 M
• Il legame funzionale tra le 2 situazioni finanziarie (T0;C0) e (T1,M) risulta: ;jtz ,t →C prestazione la= cui inizia, e; momento in il finisce cui momento in il il montante di C, Questa formula esprime sono gli euro investiti in t1 e disinvestiti in t2
• Ricordando che M> C, risulta: M=C+I; dove I è l’interesse per ricompensare il soggetto iniziale dell’operazione che si è privato di C e quindi non lo può utilizzare

Leggi di capitalizzazione

M itztiC=;

Le leggi di capitalizzazione consentono il calcolo del montante come funzione di C,t1 e t2.

Leggi di interesse

-12C.tnF=,

Le leggi di interesse consentono il calcolo dell’interesse come funzione di C,t1 e t2

Relazione tra montante e interesse

M itztiC=; | )( tu ta.fr (ti )F (C.F C. -12te+ C.== , ,ICM +-

La funzione (come F) è una funzione in 3 variabili: o (F): R x R x R -> R+ + + +

Dominio spazio a 3 dimensioni (è il prodotto cartesiano)

es. ".to/--Cect2-t( ti¢ " ( sonoC. = )tate=D (M C.100 , ,g a

• 11-1211-142 È(E)☒t' %eh È 119_ ++(100,1+1/12,1+12)=1 zoo∅ = e-

Requisiti minimi

Requisiti minimi di. :

Premessa: una funzione per essere una f. Di montante deve soddisfare alcuni requisiti minimi:

Requisito 1: assenza di free lunch-> non è possibile investire o ricevere di più

tz.to/--( titi ≤0,0 ≤∅ a.

Requisito 2: operazione istantanea

do 100 e la persona non li accetta e me li restituisce subito -> (M=C).to/- C,V-cz0.V-teZo0(c.ti.t2ko(c.ti,t( tic.∅

Requisito 3: montante di un impiego più protratto nel tempo sarà maggiore piuttosto che quello ridotto. (Maggiore è la durata di un impiego, maggiore è il montante); lo stesso C impegnato in tempi ≠ porta a montanti ≠

tste ta) ≤≤≤o≥ ,

Requisito 4: una funzione per essere di montante deve fare corrispondere a capitali dei montanti più elevati) tatituta/ cacca( (citata C) ≤≤10 G. o ≤ ;<∅ ,

Per quanto riguarda i requisiti 3 e 4, la funzione deve essere derivabile rispetto a C e a t e crescente rispetto a queste 2 variabili.

Derivata di funzioni a più variabili

Derivata di funzioni a più variabili:

In generale, se Z=f(x;y), la funzione, f, può essere derivata in 2 direzioni: rispetto a X (derivata parziale di funzione rispetto a. X) e rispetto a y (derivata parziale di funzione rispetto a Y)

Derivata parziale rispetto a x: ! D8 )(fi8 Y×( )) ( y ;-× y × ;- -; . di

Derivata parziale rispetto a y: ! D8 )(;8 Y=p ×( )/ ( y ;-× y × ; -; dy

Se f (x;y) = x^2 + 3xy avremo:

ha tratto↳ come costante )G- numderivase per ✗(df ) f)× Y= %)D8 ( Y g)× (2×+39(- ) =3 ×× y ✗= -== =,di dy

↓ ↓ derivata derivata di di 2 rispetto a ✗ rsxy ✗

Esempio 2

Es. 2 ".fr/--CeH2-t".fi ( cita esaminati |veri soddisfa minimi chiamo requisiti ise: ""e' +2( )ta -R tu verificato1 0 0 >o=1 =→ = .. ,, Ìt'Celti () (è verificatotR -( tu01 C. >2 = =→ = =,,. 12ti? CeltsteCeltaR --3 <→. 12≥ ti)ti¥-2 1- 3-- < Ì(2 t tita /ti verificato( >< } =- -ta t.rsti ti< --ÈagitatriceR ( (4 <¥→. verificatoCa<verifichi crescente Crea )tzè∅ rispetto 3se aamo: +112alta(Ricordiamo 1-te (① a)che -C. =, » )ti ta12 ( ti( ta -2 o>+2(cit - -)poi d2) €( 1-Gta ' e_= → so=, alta

↓ rispetto atz crescente verifichi requisito(C )lo è 4 rispetto se aamo è2/taltaddk.tt ) ,t! .to -)(IO C. o>=, =dC

Autovalutazione

Autovalutazione ]

Sia Ì/ ti() tata legge rappresentare capitalizzazione tu C( chiede di può si ∅1+0,01C. :se ∅ - una--, verificati controllare requisiti dobbiamo che tutti i siano

(0,1-1,1-2)=011+0,01 3=0Haiti ) ✓lo

1) Clito.dk?--tED--c/ti( te ✓

02) c. =, tz1-1,1-2 ) C015 ( ✓2.C. 0,01 >

3) o= - ✓1- )ti! )C.tn ta

4) ( 22( >∅ +0,01→ o-.,

Leggi di montante e interesse a confronto

Interesse a confronto Leggi montante di di e

Montante Interesse

0/(0,1-2,4)=0 FIO.tn/-a)=0① /( tu ti )(F tn.tnC. CC C.= =, (FI )Gta(41-1,1-2)>005 tz > o,tata )FI (tuta )0h ( c. o>c. o>

ES 4. )) ?tta( (tuta legge'la funzione F interesse di C.c. 0.03 una e✗ -: - )(0,1-1,1-2)=0×0,03 ( te1 F ta ✓o=-. .tn/--Cxao3lti-til---( tu ✓c.F o2 . FI Cti( 2)1- ( 0,03 ✓3 > o= ✗,. )C.tn/-z)--ao3(tz-tn' ( ✓F. o4 >.

Uniformità e stazionarietà rispetto al tempo

Uniformità stazionarietà rispetto tempo al

O uniforme definizione definisce stazionaria tempo rispetto al si→ seo: )( tatxtu01)( tz.tn tntxC.① C. tztx≤≤o×+= , ,ta.tn/--T-(C.t1tx.tz+x( )C. tntF tztx≤≤o ✗, derivata la parità' C dii sea→>

• • • . ,' lati tax conta stessa ta tax che eo poco l' istante perchè iniziale sia ≠ montante uguale sarà il.

Esempio 5

Es 5. . ""↳/l'Verificare uniformità -)tempo (funzione della tata nel CeC.∅ =

Applicando la definizione: "? ++2t' '≠' '#' " - )canta) ①(( tatx (ti (∅ C. + e× = =e,la legge tempo uniforme nel è.

Esempio 6

Es 6. . l'Verificare uniformità ①tempo )funzione del nel ]( )[te ta 1+0.014=2-1-7CC. ✗-..

App def la:. { }? ]12[) )tztxti (( C (ta tuC. 1+0,01∅ =+= × ✗×+ +, { +2×1-21×72 D=ti( ti -2×1-1 #C 1+0,01= -{ })1-22+2×+2( tiC -2×1-1 C≠1+0,01= -

Se una legge è uniforme rispetto al tempo, il montante non dipende dagli istanti in cui si impiega/disimpiega, bensì dipende dall’ampiezza dell’intervallo.

Teorema

TEOREMA tempo uniforme se t nel taa)è )( ( titu 1-①lo tM C.C. == -: , ,

DIMOSTRAZIONE: )tempo tata tztxtiSe ) (nel uniforme definizione QCC Clo è 01èper + ×: = , ,,,perdita te generalità di alcuna poniamo senza ✗ = :-,) )ta QCCti ta t.totu(a) (0,1-2-1-11- M10 C.Io ts(C. tu C. =-= - = -,,, .

Analogamente uniforme allora F è: ,) tta( tI tituta )( C.C.f- == -,uniforme' uniforme IO solo F è se viceversa se ee e, .,lo uniforme F ' Io è anche se prova e: () )+2tetatu Ctf( l' uniformità C.C.∅ di per- F= ., ) )MCC( tcitIC + == ,

lo sarà IO uniforme' anche F se prova e: , ))( tuta tuta( uniforme F lo C. CC. ① è dunque per= = :- ,)t()t C.MCC C 1=-= ,

Additività rispetto al capitale

Additività rispetto capitale al legge definizione capitale adattiva dice al rispetto se una si→: () )) tutaCate(tuta taQ Io( C2 Czci∅ =+ - ,,,

Montante Il montanti dei la capitali di è due C2 dei di somma ci somma una e, ,capitali singoli. .

teorema: se montante lavorando classe legge nella funzioni delle stasi con una, IRIDI'IR Rt- Se è10 proprietà le soddisfa allora continua èlo 4 lo→✗ e: . ,capitale additiva risulta al rispetto e: .to/=Cf(tnta( )01 tiG.f fattore( ) capitalizzazione tate di→,

Il fattore capitalizzazione unità capitale restituisce montante di di il di una +2teda fino impegnata a.

Relazione tra capitale

Relazione tra capitale lo ①te auditiva è al rispetto se:,

Perché M I MCti C- - - teK ( )ta,C.tn/-2)--O(C.tn.ta)-C----Cf(tn.t2(F Clf ((1-1,1-2) ] tata )) CKC -1 -=-adattiva F 'anche ossia e.

Se (tata )1- CK( teF 2)èF Hiva C.adi da cui=: , , )(+1,1-2) (tataCf( ) Ctcktac.tn =∅ =,f) )tatata (te(K 1- -. )f 2)1-te( 1tkltn.to=, Ksuancora * () ))) (( tatata( tatacitata ca.tnF FF Kc.= === , .. .C2( C1

L' facente unità C)parte capitale interesse (di NON da Cz prodotto di ogni cui euro. .. .,fa capitale parte la stessa dipenda dal cui di.

Requisiti di fattore di capitalizzazione

Requisiti di ? fattore considerata capitalizzazione di requisiti f Quali deve avere per essere un )(0,1-1,1-2)=0 (tanta

Sappiamo ( ) la Se Cftata01lo additiva C.lo1 che dunque è =: .. , .) tata )te( (Ofta10 o =, , &

FORNISCE NON ALCUNA INFO SU . .tn/--Cf(ti.t.)--C--sf(ti.ti)--ti) ( ti01tata( 1.C.Io dac C ≥2 ocui- :,. ,

Il te immediatamente disinvestito montante unità capitale impiegato di di un in e è pari 1a.

ttati)) C.tntuta ① (( ts -C. ≤∅ ≤o< da3 cui≥ :. , , ,¢8)( tata )Ef Hats-( AltiI tuta )) .to C o>- ,

f durata deve crescente fdella è di al impiego essere ctescere ossia se,,(' )fa te ta derivabile o>: , 1 >)()citata( tuta(① CaC- <4 da < ≤ segue ∅ oa. :,. ,

// tentato(CaftutaCsf ta il)tu(fCacca montante deve1≤< essere> capitale investito del, maggiore

Riepilogo proprietà

Proprietà riepilogo f .tn/=1( tii 2reaconsona→ .( )I' finta' Haconsona> o 3→2 .( tu )I ta 41 reaconsona→>- .,

Consideriamo Per l'C additività C.capitali C2 F risulta di dei:....., )) citata( ( ) (tata )(f- tataC. CK tata FK»- - Ci ).to/=CaK(tn,ta)--sk(ti.ta)=F(Cz.tn.tz(f- .tnCz CZ0o a )tutaC.tn.to/=CK(tn,ta)--sk(ti.ta)=T- ((f- c.C""*da cui:

Esempio 7

Es 7. 2+003+2/ ( capitalizzazione tuta )Verificare fattore è di se un= .+121-0,03r.2-IH.tn/--3++:#I--- ✓

1)tritaIL 1 ✓

3f. 0,03→ 2+0%1=>0= .(1-1,1-2) 21-0,031-2f4 >v. ✓→ ti2+0,03 t C

Leggi uniformi rispetto a e additive rispetto a

Rispetto uniformi additive a leggi a e:

Supponiamo tempo uniforme contemporaneamente odiava capitale che rispetto nel allo sia e.

Per l' uniformità possiamo scrivere: C.tn/-a)--CtF(c.tn.ta)--Ctl(c.t )(01

additività Per l' però: te01 ( ctckltn.to/--CtCklt)ta )C. -., / dcpdeppiccolo .,

dunque durata Solo della s.: 11 ]Ctcklt ) ) tKlt) M(tataQ ( C.C. + =-= .

Atk fattore capitalizzazione atilè( )t dadi 0

Esempio 8

Es 8. Ict Verificare fattore 1+0.011-2 capitalizzazione Az atla ) 0dadi è se un=. .

I (a)1 1+0,01 1O= =..

2T)( tf'2 0,01 > o= .. )Ict3 O>.

Regimi di capitalizzazione

Capitalizzazione regimi di

1. Interesse regime semplice di leggi Nell' capita