Matematica Discreta

Matematica discreta

Funzione parte intera

In matematica, la funzione parte intera è la funzione che associa ad ogni numero reale x il più grande intero minore o uguale a x. È solitamente indicata con ⌊x⌋.

Esempio: ⌊2.3⌋ = 2
⌊-1.5⌋ = -2

Numeri pari e dispari

Definizione: un numero m ∈ Z (intero) è pari ⇔ ∃ un numero k ∈ Z t.c. m = 2k (è vero anche il viceversa).

In inglese un numero pari si indica così: E

Un'ulteriore notazione è Ⅱ

Definizione: un numero m ∈ Z (intero) è dispari ⇔ ∃ un num. k ∈ Z t.c. m = 2k+1 (è vero anche il viceversa).

In inglese si indica O

Un'ulteriore notazione è Ⅾ

0 è pari o dispari?

Facciamo la prova se è dispari: 0 = 2k + 1. Non è pari.

Pari: 0 = 2k
k = 0 ⇒ 0 = 2⋅0 ⇒ è pari

Dimostrazione di numero intero e pari

Dimostrare che 6a²b² è un numero intero e pari:

6a²b
a ∈ Z, b ∈ Z ⇒ 6a²b ∈ Z

6a²b = 2⋅(3a²b)

Dato che 3a²b è intero, moltiplicato per due è un numero pari:

⇒ 6a²b ∈ E

Numeri primi

Definizione: un numero intero m ∈ Z, |m| > 1 è primo ⇔ per tutti gli interi positivi r,s, se m = r⋅s allora r o s è uguale ad m.

∀ r,s ∈ Z, r,s > 0, se m = r⋅s ⇒ r = m o s = m

Matematica discreta

Funzione parte intera

In matematica, la funzione parte intera è la funzione che associa ad ogni numero reale x il più grande intero minore o uguale a x. È solitamente indicata con ⌊x⌋

Esempio: ⌊2.3⌋ = 2
⌊-1.5⌋ = -2

Numeri pari e dispari

Definizione: un numero m ∈ Z (intero) è pari ⟺ ∃ un num. K ∈ Z t.c. m = 2K (è vero anche il viceversa).

In inglese un numero pari si indica così: E

Un'ulteriore notazione è ||P

Definizione: un numero m ∈ Z (intero) è dispari ⟺ ∃ un num. K ∈ Z t.c. m = 2K + 1 (è vero anche il viceversa).

In inglese si indica O

Un'ulteriore notazione è ||D

0 è pari o dispari!?

Facciamo la prova: se è dispari: 0 = 2K + 1. Non è pari.

Pari: 0 = 2K
K = 0 ⇒ 0 = 2 . 0 ⇒ 0 è pari

Dimostrazione di numero intero e pari

Dimostrare che 6a²b² è un numero intero e pari.

6a²b, a ∈ Z, b ∈ Z ⇒ 6a²b ∈ Z

6a²b = 2 . (3a²b)

Dato che 3a²b è intero, il moltiplicato per due è un numero pari.

⇒ 6a²b ∈ E

Numeri primi

Definizione: un numero intero m ∈ Z, m > 1 è primo ⟺ per tutti gli interi positivi r, s, se m = r . s, allora r o s è uguale ad m.

∀ r, s ∈ Z, r, s > 0 se m = r . s ⟹ r = m o s = m

Numeri composti

Definizione: un numero intero, m ∈ &Zopf; è composto ⇔ m = t ⋅ s per alcuni numeri interi t ed s con 1 < t < m e 1 < s < m

m ∉ composto ⇔ ∃ t, s ∈ &Zopf;, 1 < t, s > 0 t.c. m = t ⋅ s ≠ ∃ 1 < t < m 1 < s < m

È vero che qualsiasi numero ≥ 4 è primo o composto?

Consideriamo m = t ⋅ s

Escludiamo le possibili coppie t; s
t = 1 ed s = M
t = M ed s = 1

Dato che t, s > 0 ⇒ 1 ≤ t ≤ m
1 ≤ s ≤ m

Supponiamo che M sia primo ⇒ 1 ≤ t ≤ m, poiché M può essere uguale 1 ≤ s ≤ m ad t 0 a s = STOP

Supponiamo che M sia composto ⇒ 1 ≤ t < M quindi, M ≠ 1 è uguale a 1 ≤ s < M

Dimostrazione proposizioni esistenziali

La proposizioni: ∃ x ∈ &Dopf;, Q(x) è vera ⇔ Q(x) è vera per almeno un elemento ∈ &Dopf;

Possono essere utilizzati due metodi:

• Vedere la prop. e cercare uno x che la renda vera
• Scrivere un algoritmo per cui la proposizione è vera

Entrambi metodi sono dimostrazioni costruttive di esistenza

Le dimostrazioni costruttive si svolgono partendo dalle condizioni iniziali per ottenere tramite una serie di implicazioni logiche le condizioni della tesi.

Dimostrazione proposizioni universali

∀ x ∈ &Dopf;, se è vera P(x) ⇒ è vera anche Q(x)

Una prop. universale può essere dimostrata in due modi:

• Con un controesempio ovvero trovare una x che rende P(x) vera e ∃(y) falsa
• Dimostrando che l'opposto è vero

Esempio 6 (Dimostrazione con controesempio)

Confutare con un controesempio ∀ a,b∈ℝ , a² =b² → a=b

Controesempio: prendiamo a=-1 b=-1
a² =b² ma a ≠ b perché 1 ≠ -1

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