Matematica Discreta - Esercizi

Esame di Matematica Discreta – 21 Settembre 2012 - (Prof. Sterle Claudio)

Esercizio 1.

a) Dire motivando la risposta se la funzione f: R ³ R² rappresentata di seguito è iniettiva, suriettiva, biiettiva.b) Se f non è biiettiva, qual è la minima restrizione da fare sul dominio o sul range o su entrambe al fine di renderla tale? (Motivare la risposta).

Esercizio 2.

a) Si enunci il teorema cinese del resto e si dimostri l'esistenza della soluzione di un sistema di congruenze lineari. b) Trovare il MCD di (220, 121) ed esprimerlo come combinazione lineare dei due numeri.

Esercizio 3.

Una scatola contiene 24 palline numerate da 1 a 24. Le palline da 1 a 10 sono colorate di rosso; le palline da 11 a 19 sono colorate di giallo e le palline da 20 a 24 sono colorate di blu. In quanti modi diversi si possono estrarre: a) 3 palline di diverso colore; b) 3 palline dello stesso colore; c) 3 palline di al più 2 colori.

Esercizio 4.

a) Si dimostri che data una matrice quadrata A di ordine n. Essa è invertibile se e solo se rk(A) = n.b) Calcolare il rango della seguente matrice al variare del parametro h ∈ R.

A = | h         -h         1 || 1          h + 1     0 || h + 1        0        h + 1 |

Esercizio 6.

Dire se il grafi G1 è isomorfo ai grafi G2 e G3.

Esercizio 5.

a) Dimostrare la planaritá o meno del grafo G4 utilizzando il teorema di Kuratowsky.b) Dire se il grafo G4 è bipartito o meno.c) Effettuare una colorazione del grafo G4.

Esercizio 7.

a) Dato il grafo G5 dire se è Euleriano, motivando la risposta. Nel caso non lo fosse, aggiungere uno o più archi in modo da renderlo tale, rispettando la condizione che dopo l'aggiunta degli archi il grafo sia ancora un grafo semplice. b) Dimostrare con un metodo noto che il seguente grafo è connesso. (Motivare la risposta).