Matematica Discreta - Esercizi

Esame di Matematica Discreta - 21 settembre 2012 - (Prof. Sterle Claudio)

Esercizio 1

• A) Dire motivando la risposta se la funzione f: R -> R^>0 rappresentata di seguito è iniettiva, suriettiva, biiettiva.
• B) Se f non è biiettiva, qual è la minima restrizione da fare sul dominio o sul range o su entrambe al fine di renderla tale? (Motivare la risposta).

Esercizio 2

• A) Si enunci il teorema cinese del resto e si dimostri l'esistenza della soluzione di un sistema di congruenze lineari.
• B) Trovare il MCD di (220, 121) ed esprimerlo come combinazione lineare dei due numeri.

Esercizio 3

Una scatola contiene 24 palline numerate da 1 a 24. Le palline da 1 a 10 sono colorate di rosso; le palline da 11 a 19 sono colorate di giallo e le palline da 20 a 24 sono colorate di blu.

In quanti modi diversi si possono estrarre:

• A) 3 palline di diverso colore;
• B) 3 palline dello stesso colore;
• C) 3 palline di al più 2 colori.

Esercizio 4

• A) Si dimostri che data una matrice quadrata A di ordine n. Essa è invertibile se e solo se rk(A) = n.
• B) Calcolare il rango della seguente matrice al variare del parametro h in R.

A = ( h -h 11 h + 1 0h + 1 0 h + 1 )

Esercizio 6

Dire se il grafo G1 è isomorfo ai grafi G2 e G3.

Esercizio 5

• A) Si dimostri la planarità o meno del grafo G4 utilizzando il teorema di Kuratowsky.
• B) Dire se il grafo G4 è bipartito o meno.
• C) Effettuare una colorazione del grafo G4.

Esercizio 7

• A) Dato il grafo G5 dire se è Euleriano, motivando la risposta. Nel caso non lo fosse, aggiungere uno o più archi in modo da renderlo tale, rispettando la condizione che dopo l'aggiunta degli archi il grafo sia ancora un grafo semplice.
• B) Dimostrare con un metodo noto che il seguente grafo è connesso. (Motivare la risposta).