Matematica De Angelis Orale

Gli insiemi

Costruzione di Z

Per costruire Z si aggiungono:

Il numero zero: il numero che gode della proprietà di essere elemento neutro della somma, ovvero l'unico numero che sommato ad un qualsiasi altro restituisca il numero stesso: a + 0 = a.

L'opposto di ogni numero numero naturale: l'opposto di un numero a, indicato con –a, è quel numero che sommato ad a restituisce lo zero: a+(-a) = 0.

Costruzione di Q

Per costruire Q si aggiungono:

I reciproci dei numeri interi dove il reciproco del numero a, indicato con 1/a, è quel numero che moltiplicato per a restituisce 1, che rappresenta l'elemento neutro del prodotto: a . (1/a) = 1.

Eccezione: non è formale definire il reciproco del numero zero.

Con l'aggiunta di tali numeri è possibile definire i numeri frazionari a/b, a = (a/b) con c ≠ 0.

In Q non è definibile l'operazione di radice quadrata, se nessun elemento positivo numero portato a nome pari esiste un numero b e b cui si ottoba b . b = a.

Es: radice del numero razionale a² non esiste nessun numero razionale b per cui che b*b = 3 . 2013 Nessun n ∈ Q la radice quadrata di a² = 2.

In R esistono le radici quadrate di tutti i numeri positivi.

Estremi di un insieme

Minimo e massimo di un insieme

(si legge minimo di A) Si tratta di portare l'elemento di A minore o uguale ad ogni altro elemento di A:

(si legge massimo di A) Si intende se esiste l'elemento di A maggiore o uguale ad ogni altro elemento di A.

min A, ∈ x ∈ A

Si intende se esiste l'elemento di A maggiore o uguale ad ogni altro elemento di A: max A ≥ x, ∀ x ∈ A.

Esempio: sia A = {1, 2, 3} ⊂ N min A = 1 max A = 3.

Sia A = {3, 4, 5 ... 3} ⊂ N min A = 3 n non esiste max A.

Sia X ⊂ R un sottinsieme dei numeri reali e y ∈ R, si dice estremo superiore dell'insieme X se y è un maggiorante di X.

Sia X ⊂ R un sottinsieme dei numeri reali e y ∈ R si dice estremo superiore dell'insieme X se y è un minorante di X.

Gli insiemi

Costruzione di Z

Per costruire Z si aggiungono:

Il numero zero: il numero che gode della proprietà... ovvero l'unico numero che sommato ad un qualsiasi altro restituisca il numero stesso: a + 0 = a.

L'opposto di ogni numero...

L'opposto di un numero a indicato con -a è quel numero che sommato ad a restituisce lo zero: a+(-a) = 0.

Costruzione di Q

Per costruire Q si aggiungono:

I reciproci dei numeri interi dove il reciproco di un numero a è indicato con 1/a ed è quel numero che moltiplicato per a restituisce 1, che rappresenta l'elemento neutro del prodotto: a . (1/a) = 1.

Eccezione: non è pos... numero zero.

Con l'aggiunta di tali ...: in R esistono le radici quadrate di tutti i ...

Estremi di un insieme

Minimo e massimo di un insieme

Si intende il più ...

Si intende, se esiste, l'... minore o uguale...

Esempio:

Sia A = {1,2,3} ...min A = 1 max A = 3.

Sia A = {3,4,5 ... 3} ...num A = 3 ...

Sia X... sottinsieme ...

Se Y... estr... ... XY è un ... X.

Sia X... sottinsieme ...

Se Y... estr... ... XY è un minorante di X.

Numeri reali

Presi due numeri reali arbitrari a e b, con a < b, esistono infiniti numeri compresi tra a e b.

Questi numeri costituiscono un insieme che è detto intervallo di R ad estremi a e b.

• A è l'estremo inferiore (inf I = a).
• B è l'estremo superiore (sup I = b).

I valori a e b sono minimo e massimo solo se essi appartengono all'insieme.

Intervalli limitati di R

Siano a e b due numeri reali, con a < b.

• [a,b] → Intervallo chiuso di estremi a e b

Si intende l'insieme formato da tutti i numeri reali compresi tra a e b, estremi inclusi:

[a,b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

• [a,b[ → Intervallo semiaperto a destra di estremi a e b

Si intende l'insieme formato da tutti i numeri reali compresi tra a e b, a incluso, b escluso:

[a,b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b}

• ]a,b] → Intervallo semiaperto a sinistra di estremi a e b

Si intende l'insieme formato da tutti i numeri reali compresi tra a e b, a escluso, b incluso:

]a,b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

• ]a,b[ → Intervallo aperto di estremi a e b

Si intende l'insieme formato da tutti i numeri reali compresi tra a e b, a escluso, b escluso:

]a,b[ = {x ∈ R : a < x < b}

Intervalli illimitati

ON: La a un numero reale.

(-∞, a] - Intervallo chiuso illimitato inferiormente di estremo a.

Si intende l'insieme formato da tutti i numeri reali minori di a, estremo incluso: (-∞, a] = {x ∈ R: x ≤ a}.

(-∞, a[ - Intervallo aperto illimitato inferiormente di estremo a.

Si