Matematica applicata

Name: Matematica applicata
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Author: angheloporetto

Revisionato il 02/07/2026

di angheloporetto

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Appunti di Matematica applicata. Ripasso derivate, integrali indefiniti/definiti, boxplot, statistica, integrali curvilinei ecc... tutti gli esercizi delle prove d'esame risolti dal 2017 al …

Esame Matematica applicata

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Martalò Giorgio

Università Università degli Studi di Parma

A.A. 2021-2022

51 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Regole di derivazione

K·f(x) = K·f'(x)

f(x)·g(x) + h(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·h'(x)

[f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

f(x)/g(x) = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)] / [g(x)]²

1/f(x) = f'(x) / [f(x)]² f(x) ≠ 0

f[g(x)] = f'[g(x)]·g'(x)

y = ln(x) y' = 1/x

y = ln|g(x)| y' = g'(x)/g(x)

y = e^x y' = e^x

y = a^g(x) y' = a^g(x)·ln a·g'(x)

y = e^g(x) y' = e^g(x)·g'(x)

y = [f(x)]^m y' = m·[f(x)]^m-1·f'(x)

f(x)^g(x) = f(x)^g(x)·{g'(x)·ln f(x) + g(x)·[f'(x)/f(x)]}

y = log_a(x) y' = 1/(x·ln(a))

y = sin(x) y' = cos(x)

y = cos(x) y' = -sin(x)

Regole di derivazione complementari

K·f(x) = K·f'(x)

g(x)·g(x) + h(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·h'(x)

f(x)·g(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

^f(x)/_g(x) = ^{f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)}/_(g(x))²

1/f(x) = ^f'(x)/_(f(x))² f(x) ≠ 0

f(g(x)) = f'(g(x))·g'(x)

y = ln(x)

y = ln|g(x)|

y = |f(x)|

y = a^g(x)

y = e^g(x)

y = [f(x)]^u

f(x)^g(x) = f(x)^g(x) ·[g'(x)·ln f(x) + g(x)· ^f'(x)/_f(x)]

y = log_a(x)

y = sin(x)

y = cos(x)

y' = ¹/_x

y' = ^g'(x)/_g(x)

y' = ^f'(x)/_|f(x)| f'(x)

y' = a^g(x) · ln a · f'(x)

y' = e^f(x) · f'(x)

y' = u · [f(x)]^u-1 · f'(x)

y' = ¹/_{x ln(a)}

y' = cos x

y' = -sin x

Esempio ottenimento di un insieme integrale

^∫_c^d dt = e^t + C sostituisce t = x²

Dunque: ^∫_{2 x e^-x³ dx =}

Notiamo subito che se derivato d = -3 x² ed f’ può essere uguale. Per cui moltiplico per 3, ottengo:

-¹/₃ ^∫_{2 x e^-x³ dx}

Continuiamo:

t = -x³

dt = -3x² dx

Risolvo e ritorno:

-¹/₃ ^∫_{e^t dt} = -¹/₃ e^t dt = -¹/₃ e^-x³ + C

Esempio

^∫_x√(x²+5) dx = ¹/₂ ^2x_{√x²+5 dx}

Quindi: T = x² + 5

dt = 2x dx

Risolvo:

¹/₂ ^∫_{√t dt} = ¹/₂ ^{t^1/2 dt} = ¹/₂ ²/₃^{T^3/2}

Esempio

^∫_{sin x (cos x) dx}

t = sin x

dt = cos x dx

Inizio:

^∫_{t dt =} ¹/₂ t² dt sostituendo nuovamente

¹/₂ sin² x + C caso particolare del metodo di sostituzione

^∫_D’(x) dx = quando il numeratore è la derivata o parte del denominatore allora ln|D(x)| + C

Riassunto integrali

Bisogna "chiedersi" Qual è quella funzione la cui derivata prima è uguale a: f(x)

Esempio: ∫ x² dx = x³/3 + C

Tabella: primitive da sapere

∫ dx = x + C
∫ o dx = Kx + C
∫ K dx = Kx + C
∫ xᴺ dx = xᴺ⁺¹ / (n + 1) + c
∫ e^αx dx = 1/α e^αx + C
∫ 1/x dx = ln |x| + C

Potenza ed espressione

POTENZA: xᵏ
ESPRESSIONE: e^ᵃˣ

∫ cos βx dx = 1/β sin βx + C
∫ sin βx dx = -1/β cos βx + C
∫ 1/cos²x dx = tg x + C
∫ 1/sin²x dx = -ctg x + C
∫ 1/√x² - a² dx = arcsin x + C
∫ 1/a² + x² dx = arctg x + C

Quando abbiamo la costante k, è possibile uscirla | k·∫(x) dx → k ∫(x) dx

Esempi

∫ x + e^2x dx → x²/2 + 1/2 e^2x + C

∫ (x² + x + 1)/x dx → x²/2 + ln |x| + C

Regole di integrazione per sostituzione

Iniziamo per sostituzione. Importante che il figlio sia libero da radici ecco... il padre non importa.

∫ (x²) e^x² dx

Poniamo T=padre Per cui: t = x²

Faccio il differenziale (derivata) dt = 2x dx

Uffici se possiamo x dx →

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