Matematica 1

Matematica I

10 settembre 2018

Teoria degli insiemi

Gli insiemi sono gruppi di elementi.

Gli insiemi sono indicati con una lettera maiuscola.

Gli elementi si indicano con le lettere minuscole.

Esempi

X = {a, b, c, d} oppure A = {1, 2, 3}

Possono anche esistere gruppi (insiemi) formati da elementi che verificano una determinata proprietà.

B = {x : x verifica una proprietà}

Esempio:

B = {m ∈ ℕ : m non è divisibile per 2}

(dunque B è l'insieme dei numeri dispari)

Quantificatori

• ∈ = appartiene
• ∉ = non appartiene
• ∃ = esiste
• ∃ = non esiste
• ∀ = per ogni

Insieme delle parti

Dato un insieme A l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A detto insieme delle parti di A si indica con P(A)

Esempio: A = {a, b} P(A) = {∅, {a}, {b}, A, ∅}

B = {1, 2, 3} P(B) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, B}

∅ = insieme vuoto - per convenzione è sempre un sottoinsieme.

È un insieme in cui una proprietà non è mai verificata.

Es. Numero dispari divisibile per 2.

Gli insiemi che contengono un solo elemento si chiamano singleton.

Matematica I

10 settembre 2018

Teoria degli insiemi

Gli insiemi sono gruppi di elementi.

Gli insiemi sono indicati con una lettera maiuscola.

Gli elementi si indicano con le lettere minuscole.

Esempi

X = {a, b, c, d} oppure A = {1, 2, 3}

Possono anche esistere gruppi (insiemi) formati da elementi che verificano una determinata proprietà.

B = {x : x verifica una proprietà}

Esempio:

B = {m ∈ N : m non è divisibile per 2}

(dunque B è l'insieme dei numeri dispari)

Quantificatori

• ∈ = appartiene
• ∉ = non appartiene
• ∃ = esiste
• ∄ = non esiste
• ∀ = per ogni

Insieme delle parti

Definizione: Dato un insieme A l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A detto insieme delle parti di A si indica con P(A)

Sottoinsieme: insiemi che si trovano nell'insieme A

Esempio: A = {a, b} P(A) = {{a}, {b}, A, φ}

B = {1, 2, 3} P(B) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, φ}

φ = insieme vuoto — per convenzione è sempre un sottoinsieme.

È un insieme in cui una proprietà non è mai verificata.

Es. Numero dispari divisibile per 2.

Gli insiemi che contengono un solo elemento si chiamano singleton.

Numero di sottoinsiemi

Se m = numero degli elementi di X, allora 2^m = numero degli elementi di P(X)

Implicazione

Definizione: Siano P₁ e P₂ due proprietà. P₁ ⇒ P₂ (P₁ implica P₂) vuol dire che se A verifica P₁ allora A verifica anche P₂.

Esempio: P₁: X≥1

P₂: X è divisibile per 2.

In questo caso P₂⇒P₁ perché i numeri divisibili per due sono sicuramente maggiori di 1. Ma P₁⇏P₂.

Proprietà equivalenti

Definizione: Si dice che P₁ è equivalente a P₂ (P₁⇔P₂) se P₁ ⇒ P₂ e P₂ ⇒ P₁.

Esempio: P₁: m ∈ IN, m è dispari

P₂: m ∈ IN, m non è divisibile per 2.

P₁⇔P₂

Osservazione

Se P₂ ⇒ P₁, allora T P₂ ⇒ T P₁

T = non/negazione

Esempio: X: è nato a New York

P₂: X è americano

P₂⇒P₁ ma T P₂⇏T P₁

Inglese X è nato a New York, allora X è americano

Se X è americano, può anche non essere nato a New York

Ma se X non è americano, allora non è nato a New York.

Operazioni con gli insiemi

Unione

Si indica com U.

Supponiamo X l'insieme di partenza, siamo A e B sottoinsiemi di X (A⊆ X, B⊆ X)

A ∪ B = {x ∈ X: x ∈ A o x ∈ B}

Esempio: A = {1,2} B = {2,3,4}

A ∪ B = {1,2,3,4}

Intersezione

Si indica con ∩

A ∩ B = {x ∈ IN: x ∈ A e x ∈ B}

Esempio: A = {1,2} B = {2,3,4}

A ∩ B = {2}

Queste operazioni possono interessare anche più di due insiemi.

Proprietà

• Commutativa: A∩B = B∩A A∪B = B∪A
• Associativa: A∪(B∪C) = (A∪B)∪C A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
• Distributiva: A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
• A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

Insiemi disgiunti: A e B si dicono disgiunti se A∩B = ∅ (A e B non hanno elementi comuni)

Complemento

Def: Si definisce complemento di A rispetto a B l'insieme degli elementi che si trovano in B ma non in A:

{ x ∈ X : x ∈ B e x ∉ A } = B - A

A^c = X - A Complemento di A rispett