Massimi e minimi di funzioni din due variabili 15

Trovare, tra i punti della curva, quelli a distanza massima e a distanza minima dall’origine degli assi

g(x, y) = 5x² + 6xy + 5y² − 8 = 0

In questo esercizio vale lo stesso discorso fatto all’inizio dell’esercizio (18).

Mi-soluzione.

Minimizziamo quindi f(x, y) = x² + y² sull’ellisse di equazione

5x² + 6xy + 5y² − 8 = 0.

Dunque si ha

φ(x, y, λ) = x² + y² + λ(5x² + 6xy + 5y² − 8).

E quindi ∇φ = 0 se e solo se

• 2x + 10λx + 6λy = 0
• 2y + 6λx + 10λy = 0
• 5x² + 6xy + 5y² − 8 = 0.

Tale sistema ha le seguenti soluzioni:

x = y = ± √2/2

oppure

x = −y = ± √2.

Calcolando i valori di f si ha

f(± √2/2, ± √2/2) = 1

e

f(± √2, ∓ √2) = 4,

da cui segue banalmente che i punti a minima distanza sono dati da

P_1/2 = (± √2/2, ± √2/2)

mentre i punti a distanza massima sono

P_3/4 = (± √2, ∓ √2).