Massimi e minimi di funzioni din due variabili 15

Trovare, tra i punti della curva 2 2

g(x, y) = 5x + 6xy + 5y − 8 = 0

quelli a distanza massima ed a distanza minima dall’origine degli assi.

In questo esercizio vale lo stesso discorso fatto all’inizio dell’esercizio (18). Mi-

soluzione. 2 2

nimizziamo quindi f (x, y) = x + y sull’ellisse di equazione

2 2

5x + 6xy + 5y − 8 = 0.

Dunque si ha 2 2 2 2

φ(x, y, λ) = x + y + λ(5x + 6xy + 5y − 8).

E quindi ∇φ = 0 se e solo se  2x + 10λx + 6λy = 0

 2y + 6λx + 10λy = 0

2 2

5x + 6xy + 5y − 8 = 0.



Tale sistema ha le seguenti soluzioni √

2

x = y = ± 2

oppure √

x = −y = ± 2.

Calcolando i valori di f si ha √

√ !

2 2 =1

, ±

f ± 2 2

e √ √

f ± 2, ∓ 2 = 4,

da cui segue banalmente che i punti a minima distanza sono dati da

√ √ !

2 2

P = ± , ±

1/2 2 2

mentre i punti a distanza massima sono √

√

2, ∓ 2).

P = (±

3/4