Massimi e minimi

Massimi e minimi

X ⊂ ℝ, f : X → ℝ, x₀ ∈ X.

x₀ si dice punto di massimo assoluto (minimo) assoluto o globale per f se f(x₀) ≥ (≤) f(x)   ∀ x ∈ X.

[f(x₀) = max f(x)   valore max]    x ∈ X            = max f(X) → immagine di f.

Esempio

Es. f(x) = -x², X = ℝ.

x₀ = 0   punto di max.

f(0) = 0 valore max.

No punti di min.

f(ℝ) = (−∞, 0]         valore max non limitato.

Massimi e minimi

X ⊂ ℝ, f : X → ℝ, x₀ ∈ X.

x₀ si dice punto di massimo (minimo) assoluto o globale per f se f(x₀) ≥ (≤) f(x)     ∀ x ∈ X.

[f(x₀) = max f(x) con x ∈ X     Valore max] = max f(X)     → Immagine di f.

Esempio

Es. f(x) = -x², X = ℝ.

x₀ = 0     Punto di max.

f(0) = 0     Valore max.

No punti di min.

f(ℝ) = (-∞, 0]   →     Valore max non limitato.

Esempio

Es. f(x) = ²⁄_x su X = (0, 1).

Limitato non chiuso.

x = 1 punto di minimo.

f(1) = 2 valore minimo.

No punti di minimo.

↗ Continua nel suo dominio.

Esempio

Es. f: [-1, 1) → R, X = [-1, 1].

f(0) = 0 ∃ (x) ∀ x ∈ {-1, 1}.

Non è continua.

Non ha né p. di max né p. di min.

Esempio

Es. f: [-1, 1] → R.

↗ È continua.

x = 0 punto di max.

x = 1, x = -1 punti di minimo.

f(1) = f(-1) = 0 val. min.

f(0) = 1 val. max.

Teorema di Weierstrass

Sia f una funzione continua su un intervallo limitato chiuso [a, b], allora f ammette (almeno) un punto di max e (almeno) un punto di min (in [a, b]).

Non è continua.

È definita su [-1, 1].

Ha max e min.

Può accadere che se non è verificata una delle ipotesi del teorema, la funzione ammetta comunque max e min.

Teorema di esistenza degli zeri

Sia f: [a, b] → R continua.

Se f(a) · f(b) < 0 allora esiste (almeno) un punto c ∈ (a, b): f(c) = 0.

Dimostrazione

Supponiamo f(a) < 0, f(b) > 0.

Considero f(_(a+b)/2).

• Se f(_(a+b)/2) = 0 prendo c = _(a+b)/2 → stop.
• Se f(_(a+b)/2) > 0 def a₁ = a, b₁ = _(a+b)/2.
• Se f(_(a+b)/2) < 0 def a₁ = _(a+b)/2, b₁ = b.

Ripeto con [a₁, b₁] sostituito da [a₁, b₁] e così via.

Se l'algoritmo non termina dopo un n° finito di passi allora si costruisce una successione di intervalli:

[a_n, b_n] ⊃ [a₁, b₁] ⊃ [a₂, b₂] ⊃ ...

b_m - a_m = _(b-a)/2^m.

• A_n è crescente e limitata superiormente da b.
• B_m è decrescente e limitata inferiormente da a.

Perciò esistono finiti:

lim_m→+∞ a_n = l₁ (≤ b).

lim_m→+∞ b_m = l₂ (≥ a).

l₂ - l₁ = lim_m→+∞ (b_m - a_m) = lim_{m→+∞ (b-a)/2^m} = 0.

Def. c = l_n = l_m ∈ [a, b]. Verifico che f(c) = 0.

f(a_n) < 0 ∀ n ⇒ f(c) = lim f(a_n) ≤ 0. f è continua in c.

f(b_m) > 0 ∀ n ⇒ f(c) = lim f(b_m) ≥ 0.

Perciò f(c) = 0 e c ≠ a, c ≠ b ossia c ∈ (a, b) (perché f(a) ≠ 0, f(b) ≠ 0).

Esempio

Es. f: [0, 1] → R.

Continua.

b_m - a_n = ^1-0/_2^m < ¹/₁₀₀₀.

¹/_2^m < ¹/₁₀₀₀.

2^m > 1000.

m > log₂ 1000.

M = 10 OK!

2¹⁰ = 1024 > 1000.

f(0) < 0.

f(1) > 0.

Casi teorema di Weierstrass

Ha 3 zeri.

Non ha zeri.

Non continua ha ha degli zeri.

Teorema dei valori intermedi

Sia f una funzione continua su un intervallo I che assume due valori y₁ ≠ y₂.

Allora assume ogni valore y ∈ (y₁, y₂).

∃ c ∈ I . f(c) = y.

f(x) - y = 0.

^f(x)-y/_g(x) = 0.

y = f(c).

y₂ = f(x).

y₁.