In quest'appunto troverai tutte le informazioni necessarie sui logaritmi, sulle loro proprietà, sulle equazioni e le disequazioni, con esempi annessi.
Cosa sono i logaritmi
I logaritmi sono un importante funzione trascendentale matematica, utilizzata per svolgere le equazioni e le disequazioni esponenziali e, in statistica, per normalizzare distribuzioni di variabili poco regolari (la cosiddetta "scala logaritmica).La funzione logaritmo è
[math]log_a b = x [/math]
, in cui:-
[math]a[/math]e[math]b[/math]sono due numeri reali positivi, con[math]a[/math]dev'essere diverso da 1
-
[math]a[/math]è definita base del logaritmo mentre[math]b[/math]è l'argomento e[math]x[/math]è l’esponente da assegnare alla base a per ottenere il numero b
[math]log_a b = x [/math]
si può quindi definire che [math]x[/math]
sia il risultato del logaritmo in base [math]a[/math]
di [math]b[/math]
.Ci sono alcuni casi particolari in cui il risultato del logaritmo assume valore unitario o nullo. Applicando la definizione e imponendo le ipotesi a,b > 0 e a ≠1, si può ricavare che:
-
[math]log_a1 = 0[/math], perché[math]a^0 = 1[/math]
-
[math]log_aa = 1[/math]perché[math]a^1 = a [/math]
-
[math]a^{(loga b)}= b[/math]perché[math]log_a b[/math]è l’esponente a cui elevare a per ottenere b
Quali sono le proprietà fondamentali dei logaritmi
Le proprietà fondamentali dei logaritmi sono tre e sono valide qualunque sia la base, purchè questa sia positiva e diversa da 1. Conoscerle bene è importante, poiché permette di semplificare e di svolgere correttamente equazioni e disequazioni logaritmiche.
Come si calcola il logaritmo di un prodotto
Il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori:[math]log_a(b\cdot c)=log_a b+log_a c[/math]
Ecco un esempio di calcolo di logaritmo di un prodotto:
[math]log_2 (8\cdot 16)= log_2 8+ log_2 16[/math]
- [math]2^x=8 , 2^x= 16[/math]
- [math]2^x=2^3, 2^x= 2^4[/math]
- [math]x=3, x= 4[/math]
- [math]log_2 (8\cdot 16)=[/math]
- [math]log_2 8+ log_2 16=[/math]
- [math]3+4=7[/math]
Come si calcola il logaritmo di un quoziente
Il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza fra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore:[math]log_a (b/c)=log_a b-log_a c[/math]
Ecco un esempio di calcolo del logaritmo di un quoziente:
- [math]log_3 (27/9)=log_3 27-log_3 9 [/math]
- [math]3^X= 27[/math]
- [math]3^X= 9 [/math]
- [math]3^X=3^3[/math]
-
[math]3^X=3^2[/math]
-
[math]X=3[/math]
- [math]X=log_3 (27/9)=log_3 27-log_3 9=3-2= 1[/math]
Come si calcola il logaritmo di una potenza
Il logaritmo della potenza di un numero positivo elevato a un esponente reale è uguale al prodotto di tale esponente per il logaritmo di quel numero positivo:[math]log_a b^n= n\cdot log_a b[/math]
Ecco un esempio di calcolo di logaritmo di una potenza:
[math]log_3 9^4= 4 \cdot log_3 9 [/math]
-
[math]log_3 (27/9)=log_3 27-log_3 9 [/math]
- [math]3^x=9 [/math]
- [math]3^x=3^2 [/math]
- [math]x=2[/math]
- [math]log_3 9^4= 4 \cdot, log_3 9=4 \cdot 2=8[/math]
Come svolgere le equazioni logaritmiche in maniera corretta
Così come le equazioni esponenziali, esistono anche le equazioni logaritmiche. Un’equazione si dice logaritmica quando l’incognita[math]x [/math]
compare nell’argomento di almeno un logaritmo.Per risolvere l’equazione è sufficiente cercare le soluzioni di
[math]A(x)=B(x)[/math]
e controllare successivamente se queste soddisfano le condizioni di esistenza.Ecco un esempio svolto sulle equazioni logaritmiche:
[math]log_{10} x - log_{10}(x+1)= log_{10} 2 - log_{10} 5[/math]
Queste sono le condizioni di esistenza:
[math]x>0\ \vee\ x+1>0\ \Rightarrow\ x> 0[/math]
La risoluzione è:
[math]log_{10} x+log_{10} 5=log_{10} 2+log_{10} (x+1)[/math]
.
Applico la proprietà dei logaritmi
-
[math]log_{10}(x\cdot 5)= log_{10}[2\cdot(x+1)][/math]
- [math]5x= 2(x+1) [/math]
- [math]5x=2x + 2 [/math]
- [math]5x – 2x= 2 [/math]
- [math]3x=2, x=\frac{2}{3}[/math]
Come svolgere correttamente le disequazioni logaritmiche
Le soluzioni di una disequazione logaritmica si ottengono risolvendo il sistema formato da:- le condizioni di esistenza della disequazione
- la disequazione che si ottiene dalla disuguaglianza degli argomenti
[math]log_(1/3)(4X-3)> - 1[/math]
[math]4x-3>0\ \Rightarrow\ x>3/4[/math]
La base è compresa tra 0 e 1 quindi è necessario cambiare il verso della disequazione:
- [math]4x-3>3[/math]
- [math]4x>3+3[/math]
- [math]x >3/2 [/math]
La soluzione è:
[math]3/4 > x > 3/2[/math]
.
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