Limiti: premesse e spiegazioni

Nel seguente appunto vedremo alcune premesse che sono necessarie per il calcolo del limite. Il limite è un'operazione algebrica che serve a studiare il comportamento che assume una funzione quando tale funzione si avvicina ad un certo valore

(si dice appunto che tende a )

Gli intervalli

Per capire i limiti, c’è prima da prendere in analisi il concetto d’intervallo a cui esso può appartenere o meno. Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali e, geometricamente, corrisponde ad una semiretta (nel caso sia un intervallo illimitato) o ad una retta (intervallo limitato). Oltre a queste caratteristiche, esso può essere chiuso (se gli estremi appartengono all’intervallo) o aperto (se essi non vi appartengono). Un esempio di intervallo limitato è , mentre un esempio di intervallo illimitato è oppure dove sono numeri reali.
Ogni intervallo ha delle caratteristiche: gli estremi (), l’ampiezza , il raggio , il centro .
Uno dei due estremi degli intervalli è , poiché non sono numeri reali e sono esclusi dall’intervallo.

Gli intorni

Analizzando i punti di un intervallo, possiamo avere dei numeri classificati come “intorno”. Un intorno completo di (numero reale) è un intervallo qualunque di , così definibile:
dove sono numeri reali, ad esempio (come si può vedere nel file allegato) l’intervallo è un intorno completo di .

Nel caso in cui

, sarà un punto medio. Si avrà che l’intervallo aperto ha un centro e raggio , si tratta di un intorno circolare, così definibile:

Gli intorni, inoltre, possono essere di due tipi:

• Destro di
  [math]x_0[/math]
  : intervallo
  [math]I_\delta^+ (x_0 )= ] x_0; x_0+ \delta [/math]
  ;
• Sinistro di
  [math]x_0[/math]
  : intervallo I_\delta^- (x_0 )= ] x_0- \delta; x_0 [/math] .

Vi sono anche intorni d’infinito:

• Intorno di meno infinito: un intervallo aperto illimitato inferiormente:
  
  [math]I (-\infty) = ]-\infty ;a[ = {x \in \mathbb{R} :x>a} [/math]
  ;
• Intorno di più infinito: un intervallo aperto illimitato superiormente:
  [math]I (+\infty) = ] b; +\infty [ = {x \in \mathbb{R} :x>b}[/math]
  ;
• Intorno di infinito: unione tra l’intorno di
  [math]+\infty[/math]
  e di
  [math]-\infty[/math]
  ossia:
  [math]I (\infty)= I(-∞) \cup I(+∞)=\{x \in \mathbb{R} : x>a \vee x>b\}[/math]
  ;
• Intorno circolare di infinito: intorno di
  [math]x_0[/math]
  , cioè
  [math]I_c (\infty)= ]-\infty; -c [\cup] c; +\infty [ [/math]
  con
  [math] c \in \mathbb{R}^+[/math]
  .

Gli insiemi

Non tutti gli insiemi sono intervalli ma anch’essi possono essere limitati o illimitati. Un insieme numerico è detto:

• Superiormente limitato: se si può determinare un numero reale
  [math]M[/math]
  (detto maggiorante di F) tale che
  [math]x \le M \forall x \in F[/math]
  , se appartiene all’insieme è detto anche massimo – vi è un estremo superiore (
  [math]M = \text{sup} F[/math]
  ) di F tale che:
• [math] x \le M \forall x \in F[/math]
• [math] \forall \epsilon > 0 \exists x \in F : x>M-\epsilon[/math]
• Inferiormente limitato: si può determinare un numero reale
  [math]m[/math]
  (detto minorante di F) tale che
  [math] x \ge m \forall x \in F[/math]
  , se appartiene all’insieme è detto anche minimo – vi è un estremo inferiore (
  [math]m = \text{inf} F[/math]
  ) tale che:
  
• [math] x \ge m \forall x \in F[/math]
• [math]\forall \epsilon > 0 \exists x \in F : x > m+\epsilon[/math]
• Limitato : se è limitato sia inferiormente che superiormente;
• Illimitati superiormente: se esiste sempre un elemento di
  [math]F[/math]
  che è maggiore di
  [math]m[/math]
  per ogni numero reale
  [math]m[/math]
  ;
• Illimitati inferiormente: se esiste sempre un elemento di
  [math]F[/math]
  che è minore di
  [math]m[/math]
  per ogni numero reale
  [math]m[/math]
  ;
• Illimitato: se l’insieme è limitato sia superiormente che inferiormente.

Comportamento di una funzione quando tende ad un certo punto

Consideriamo la funzione Poiché non è definita in , non è possibile considerare . È necessario, quindi, studiare la funzione quando si approssima a quel dato valore, di conseguenza diamo ad un tot. valori che si avvicina a 3.
Otteniamo che Poiché all’avvicinarsi di a , si avvicina a , se preso un qualunque valore di in un intorno di 3 sempre minore, allora si trova in un intorno di 6 sempre minore. Esaminato attraverso un qualunque intorno circolare, invece, di 6 di ampiezza , vi sarà sempre un intorno di 3 i cui punti (con ) avranno un’immagine di contenuta nell’intorno , poiché soddisfano la disequazione

Per che tende a 3, ha limite 6: .
Premesse ed esempio fatto, è possibile stabilire che si ha un limite finito di una funzione

[math]f(x)[/math]

– con

[math]x[/math]

tendente ad

[math]x_0[/math]

e, per limite, numero reale

[math]l[/math]

se

[math]\forall \epsilon > 0 \exists I(x_0) : |f(x)-l| > \epsilon, \forall x \in I(x_0), x \neq x_0[/math]

. Nel caso in cui appartenga al dominio di e coincida anche con il limite di si dice che è continua in . Le funzioni continue avranno un grafico la cui curva è senza interruzioni (ad esempio retta o parabola, così come le funzioni polinomiali in generale). Per calcolare il limite è sufficiente calcolare il valore della funzione nel punto dato. Per esempio, la funzione è continua. Pertanto . Diversi esempi di funzioni continue sono contenuti nel file allegato.

Tipi di limiti

Esistono vari tipi di limiti necessitano di una loro categorizzazione: ve ne sono per eccesso o difetto, sinistri o destri:

• Limite per eccesso : nel caso in cui
  [math]f(x)[/math]
  tende a
  [math]l[/math]
  per eccesso si scrive
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l^{+}[/math]
  , e si ha la condizione
  [math]f(x)>l[/math]
  ;
• Limite per difetto : nel caso in cui
  [math]f(x)[/math]
  tende a
  [math]l[/math]
  si scrive
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l^{-}[/math]
  , con aggiunta condizione f(x)
• Limite destro: nel caso in cui un limite
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=l[/math]
  si verifichi per ogni
  [math]x[/math]
  appartenente all’intorno destro di
  [math]x_0[/math]
  , cioè
  [math]] x_0; x_0+\delta[ [/math]
  ;
• Limite sinistro: nel caso in cui un limite
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=l[/math]
  si verifichi per ogni
  [math]x[/math]
  appartenente all’intorno sinistro di
  [math]x_0[/math]
  , cioè
  [math]] x_0-\delta; x_0[ [/math]
  .

Se, invece, i valori della funzione crescono sempre di più, si dice che la funzione diverge positivamente e tende a

[math]+ \infty[/math]

. Si ha un limite per che tende a se accade che .
Nel caso opposto, si dice che la funzione diverge negativamente. Si ha un limite per che tende ad se .
Tra le applicazioni a livello grafico dei limiti, rientra la determinazione degli asintoti, in questo caso, verticali. Se allora si ha che è un asintoto verticale, che possono essere anche infiniti. Spostando l’ottica, su un limite finito di una funzione per che tende a , i valori di saranno sempre maggiori, superando un qualunque numero reale positivo . Si ha una funzione f(x) – definita in un intervallo illimitato a destra – che tende al numero reale quando si può determinare un intorno I di tale che per ogni : cioè se .
Analogamente se .
Proseguendo con la determinazione degli asintoti, esistono anche gli asintoti orizzontali. Se allora la retta è un asintoto orrizontale.

Limiti: teoremi principali

A prescindere dal valore a cui tende , vi sono tre teoremi d’applicazione per i limiti:

• Teorema di unicità del limite: se
  [math]f(x)[/math]
  ha limite finito
  [math]l[/math]
  per
  [math]x \rightarrow x_0[/math]
  , allora tale limite è unico;
• Teorema della permanenza del segno: se il limite di una funzione per
  [math]x[/math]
  che tende a
  [math]x_0[/math]
  è un numero
  [math]l[/math]
  diverso da 0, allora esiste un intorno
  [math]I[/math]
  di
  [math]x_0[/math]
  (escluso al più
  [math]x_0[/math]
  ) in cui
  [math]f(x)[/math]
  e
  [math]l[/math]
  hanno lo stesso segno.
• Teorema del confronto : siano
  [math]h(x), f(x), g(x)[/math]
  tre funzioni definite in uno stesso intorno di
  [math]x_0[/math]
  – escluso al più il punto
  [math]x_0[/math]
  . Se in ogni punto di tale intorno diverso da
  [math]x_0[/math]
  risulta
  [math]h(x) \le f(x) \le g(x)[/math]
  e il limite delle due funzioni
  [math]h(x)[/math]
  e
  [math]g(x)[/math]
  , per
  [math] x \rightarrow x_0[/math]
  vale in entrambi i casi
  [math]l[/math]
  , allora anche il limite di
  [math]f(x)[/math]
  per
  [math]x[/math]
  che tende a
  [math]x_0[/math]
  è uguale a
  [math]l[/math]
  .

Le dimostrazioni dei suddetti teoremi sono nell'allegato.

Calcolo di limiti elementari

In generale, valgono le seguenti uguaglianze:

• Se
  [math]f(x)=x^n[/math]
  , allora
  [math]\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty[/math]
  per ogni
  [math]n[/math]
  positivo.
  Se invece
  [math]x \rightarrow -\infty[/math]
  allora il limite vale
  [math]-\infty[/math]
  , mentre vale sempre
  [math]+\infty[/math]
  se
  [math]n[/math]
  è pari;
• Se
  [math]f(x) = \sqrt[n]{x}[/math]
  con
  [math]n[/math]
  positivo, allora
  [math]\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = 0[/math]
  e
  [math]\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty[/math]
  . Se
  [math]n[/math]
  è dispari si può definire anche la radice nei negativi e quindi
  [math]\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty[/math]
  ;
• Se
  [math]f(x)=a^x[/math]
  con
  [math]a>1[/math]
  allora
  [math]\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty[/math]
  e
  [math]\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0[/math]
  , altrimenti se
  [math]0>a>1[/math]
  accade
  [math]\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty[/math]
  e
  [math]\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0[/math]
  . Vedremo che quest'ultima uguaglianza implica l'esistenza di un asintoto;
• Se
  [math]f(x)=\log_a(x)[/math]
  e
  [math]a>1[/math]
  allora
  [math]\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty[/math]
  e
  [math]\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = -\infty[/math]
  , altrimenti se
  [math]0 > a > 1[/math]
  si avrà l'inverso, cioè
  [math]\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = +\infty[/math]
  e
  [math]\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0[/math]
  ;

Ulteriori strumenti per il calcolo dei limiti

Se ci viene richiesto di calcolare il limite per di una certa funzione e questa funzione può ad esempio essere "scomposta" nel prodotto (o somma) di più "sottofunzioni", avremo allora le seguenti uguaglianze:

• Limite della somma: se
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l[/math]
  e
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = m[/math]
  allora
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)+g(x) = l+m[/math]
;

• Limite del prodotto: se
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l[/math]
  e
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = m[/math]
  allora
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)g(x) = l \cdot m[/math]
• Limite di una funzione moltiplicata per una costante: possiamo dire che in generale
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} k \cdot f(x) = k \cdot \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)[/math]
  .
• Limite del quoziente: se
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l[/math]
  e
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = m[/math]
  e
  [math] m \neq 0[/math]
  allora
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)}{\lim_{x \rightarrow x_0} g(x)}[/math]
  .
• Limite di una funzione elevata ad un certo esponente: se
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l[/math]
  , allora
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} [f(x)]^n = l^n[/math]
  .
• Limite di una funzione elevata ad un'altra funzione: se
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l>0[/math]
  e
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = m[/math]
  allora
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} [f(x)]^{g(x)} = l^m[/math]
  .
• Limite di una funzione composta: se
  [math]y=f(z)[/math]
  e
  [math]z=g(x)[/math]
  tali che
  [math]f(x)[/math]
  sia continua in
  [math]z_0[/math]
  e
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = z_0[/math]
  allora
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} f(g(x)) = f(z_0)[/math]
  .
  

Forme indeterminate

Le forme indeterminate sono delle forme che si possono incontrare nel calcolo dei limiti, non ne permettono il calcolo diretto, ma è possibile arrivare alla soluzione utilizzando dei trucchetti.
Le forme indeterminate sono:

• Forma indeterminata
  [math]+\infty-\infty[/math]
  : per calcolare il limite infinito di una funzione di grado
  [math]n[/math]
  basta guardare solo il coefficiente di grado
  [math]n[/math]
  .
  [math]\lim_{x \rightarrow +\infty} a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = \lim_{x \rightarrow +\infty} a_nx^n[/math]
• Forma indeterminata
  [math]0 \cdot \infty[/math]
  : si svolge la funzione moltiplicandola o dividendola per un certo valore in modo da eliminare i fattori che determinano l’indecisione.
• Forma indeterminata
  [math]\infty / \infty[/math]
  . Se il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore allora il limite per
  [math]x \rightarrow \infty[/math]
  è uguale al rapporto tra i coefficienti di grado massimo, se invece il numeratore ha grado superiore del denominatore, il limite vale
  [math]\pm \infty[/math]
  , altrimenti il limite vale
  [math]0[/math]
  . Per ulteriori informazioni su questa forma indeterminata si rimanda al file allegato, ove viene discusso degli ordini di infinito.
• Forma indeterminata
  [math]0^0, 1^{\infty}, \infty^{0}[/math]
  : in questo caso si ricorre all'identità
  [math]f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln(f(x))}[/math]

Limiti notevoli

Così noti per essere, appunto, noti, spesso ricorrono nascosti opportunamente nel calcolo dei limiti. I principali sono: .

Continuità

Per quanto riguarda le funzioni continue, anch’esse hanno dei teoremi d’applicazione. Una funzione è continua in se:

• È definita in
  [math]x0[/math]
  : esiste
  [math]f(x_0)[/math]
  ;
• Esiste limite finito
  [math]lim_{x \rightarrow x_0} f(x)[/math]
  ;
• Il valore del limite è uguale a f(x_0)

Se tali condizioni valgono limitatamente ad un certo intervallo con numeri reali, allora diremo che è continua nell’intervallo

[math][a,b][/math]

Dovute premesse fatte, i teoremi sono i seguenti.
Di seguito una lista di teoremi utili nelle funzioni continue.

• Teorema di Weierstrass:, che prende in considerazione i due punti di
  [math]f(x)[/math]
  :
  massimo assoluto, se esiste il punto massimo
  [math]M[/math]
  ; minimo assoluto, se esiste il minimo
  [math]m[/math]
  . Stabilendo che: se
  [math]f[/math]
  è una funzione continua, allora essa assume – nell’intervallo [a; b] – il massimo assoluto e il minimo assoluto.
• Il teorema dei valori intermedi procede sulla stessa linea: se f è una funzione continua in [a; b], allora essa assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo.
• Il teorema di esistenza degli zeri indica che se f è una funzione continua in [a; b], e nei suoi estremi essa assume valori di segno opposto, esiste almeno un punto in cui f si annulla, cioè
  [math]f(c) = 0.[/math]

Discontinuità

Nel caso in cui si abbiano funzioni non continue , si dice che è un punto di discontinuità o punto singolare di f(x) – essi possono essere di prima specie (salto), di seconda specie (degli asintoti), di terza specie (eliminabile), nomi che derivano dall'"aspetto" che assumono tali discontinuità all'interno del grafico di .
Si rimanda al file allegato per capire come classificare le varie discontinuità.

Per ulteriori approfondimenti sulla discontinuità, vedi anche qua

Asintoti

Una retta si definisce asintoto di una funzione, se la distanza di un punto sul grafico di dalla suddetta retta tende a . Gli asintoti possono essere di tre tipi:

• Asintoti verticali: hanno equazione
  [math]x=x_0[/math]
  e si hanno quando
  [math]\lim_{x \rightarrow x_0} = \pm \infty[/math]
  .
• Asintoti orizzontali: hanno equazione
  [math]y=l[/math]
  e si hanno quando
  [math]\lim_{x \rightarrow \pm \infty} = l [/math]
  .
• Asintoti obliqui: hanno equazione
  [math]y = mx+q[/math]
  e si hanno quando
  [math]\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = m[/math]
  e
  [math]\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)-mx = q[/math]
  .
  

Per ulteriori approfondimenti sugli asintoti vedi anche qua

Cenni al grafico probabile

Rimanendo in tema, è possibile ricavare un grafico probabile seguendo 6 passi:
1) determinare il dominio; 2) studiare le (eventuali) simmetrie rispetto all’asse y o all’origine O; 3) determinare le intersezioni con gli assi; 4) studiare il segno; 5) calcolare i limiti agli estremi del dominio e studiare i punti di discontinuità; 6) determinare gli asintoti.
Il concetto di limite, quindi, serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore (limite di una funzione) oppure l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice (limite di una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell'analisi matematica; sono usati ad esempio per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.