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Proprietà dei limiti finiti

1) Teorema dell’unicità

Il limite quando esiste è unico, ovvero: una funzione non

può assumere al limite due diversi valori. Tanto più si va a restringere l’intervallo di

valori intorno al valore limite, tanto più questo diventa piccolo, ma resta sempre

uno e uno solo, non si divide in due intervalli (e quindi valori) diversi.

( )=¿ ( )=¿

f x l f x l

1 2 <l

l

Prendiamo due limiti: e con .

¿ ¿

lim lim 1 2

x→ x x→ x

0 0

Questi due limiti sono diversi e la distanza tra loro sarà il modulo della differenza:

| |

¿ −l

l 1 2 ε

Se ora prendiamo un ε minore di questa distanza (per esempio minore della

| |

< −l /2

ε l

metà della distanza, ) l’intervallo non può contenere entrambi i limiti e

1 2

quindi non può esistere il limite. Ovvero è impossibile avere contemporaneamente:

| | | |

( )−l ( )−l l

< <

f x ε f x ε ε

e perché non può coprire simultaneamente 1

1 2

l ε

e (la loro distanza è maggiore di ).

2

2) Secondo teorema

( )=¿ ( ) ∈

=¿

f x l g x l l , l R

1 2 1 2

Se esistono i limiti finiti e

¿ ¿

lim lim

x→ x x→ x

0 0

allora esiste il limite, finito, della funzione somma (o differenza):

( ) + +l

f x g( x)=¿ l 1 2

¿

lim

x→ x 0

( )−g( )=¿ −l

f x x l 1 2

¿

lim

x → x 0

3) Terzo teorema

( )=¿ ( ) ∈

=¿

f x l g x l l , l R

1 2 1 2

Se esistono i limiti finiti e

¿ ¿

lim lim

x→ x x→ x

0 0

allora esiste il limite, finito, della funzione prodotto:

( ) )=¿

f x ∙ g(x l ∙ l

1 2

¿

lim

x → x

0

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Sintesi

Proprietà dei limiti finiti

Teorema dell’unicità del limite.

Il limite quando esiste è unico.

Dimostrazione: supponiamo che

[math]\lim_{x\to x_0} f(x)=l_1,\qquad \lim_{x\to x_0} f(x)=l_2,\qquad l_1 < l_2[/math]

Dalla definizione di limite abbiamo

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists \delta_\epsilon>0\ |\ \forall\ x\ :\ 0<|x-x_0|<\delta_\epsilon\ \Rightarrow\ l_1-\epsilon < f(x)< l_1-\epsilon\\ \forall\ \epsilon>0\ \exists \delta_\epsilon>0\ |\ \forall\ x\ :\ 0<|x-x_0|<\delta_\epsilon\ \Rightarrow\ l_2-\epsilon < f(x)< l_2-\epsilon[/math]

Possiamo scegliere

[math]\epsilon=\frac{l_2-l_2}{2}>0[/math]
: in tal caso valgono entrambe le definizioni precedenti e si ha per la funzione

[math]\frac{3l_2-l_2}{2}< f(x) <\frac{l_1+l_2}{2},\qquad \frac{l_1+l_2}{2}< f(x) <\frac{3l_2-l_1}{2}[/math]

Ma questo implicherebbe che la funzione assume valori in due intervalli diversi e disgiunti, e ciò non è possibile (va contro la definizione stessa di funzione che ad ogni valore di

[math]x[/math]
fa corrispondere un solo valore di
[math]f(x)[/math]
).

Secondo teorema.

Se esistono i limiti finiti

[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l_1,\ \lim_{x\to x_0}g(x)=l_2,\ l_1,l_2\in\mathbb{R}[/math]
allora esiste il limite, finito, della funzione somma (o differenza):

[math]\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=l_1+l_2\\ \lim_{x\to x_0}[f(x)-g(x)]=l_1-l_2[/math]

Terzo teorema.

Se esistono i limiti finiti

[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l_1,\ \lim_{x\to x_0}g(x)=l_2,\ l_1,l_2\in\mathbb{R}[/math]
allora esiste il limite, finito, della funzione prodotto:

[math]\lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=l_1\cdot l_2[/math]

e che, qualunque sia l’esponente:

[math]\lim_{x\to x_0}[f(x)]^k=l_1^k[/math]

Quarto teorema.

Se esistono i limiti finiti

[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l_1,\ \lim_{x\to x_0}g(x)=l_2,\ l_1,l_2\in\mathbb{R},\ l_2\not=0[/math]
allora esiste il limite, finito, della funzione quoziente:

[math]\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{l_1}{l_2}[/math]

Quinto teorema.

Se esiste il limite finito

[math]\lim_{x\to x_0} f(x)=l,\ l\in\mathbb{R}[/math]
e se
[math]k\in\mathbb{R}[/math]
allora k può essere estrapolato dal limite:

[math]lim_{x\to x_0}[k\cdot f(x)]=k\cdot lim_{x\to x_0}f(x)= k\cdot l[/math]

Alcune osservazioni sul limite del quoziente

Se esiste il limite finito:

[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l,\ l\in\mathbb{R}[/math]
allora esistono i limiti:

[math]\lim_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=\left\{\begin{array}{lcl} \frac{1}{l} & & l\not=0\\ +\infty & & l=0^+\\ -\infty & & l=0^- \end{array}\right.[/math]

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