Limiti di funzioni - Dimostrazioni teoremi spiegate

Limiti di funzioni da ℝ in ℝ

Teorema di unicità del limite

Sia f: D → ℝ una funzione, x₀ ∈ ℝ un punto di accumulazione per D e l₁, l₂ ∈ ℝ.

Se l₁ e l₂ sono limiti di f(x) per x → x₀, allora l₁ = l₂.

Fatto importante: se esiste lim_x→x₀ f(x) = l, allora l è unicamente determinato.

Dimostrazione

Siano l₁, l₂ ∈ ℝ t.c. l₁ = lim_x→x₀ f(x)     l₂ = lim_x→x₀ f(x) e supponiamo per assurdo che l₁ ≠ l₂.

Per la proprietà di separazione di ℝ esistono V₁ intorno di l₁ e V₂ intorno di l₂ tali che V₁ ∩ V₂ = ∅.

Per la definizione di limite, sappiamo che: ∀ V₁ intorno di l₁ ∃ U₁ intorno di x₀ t.c. ∀ x ∈ D, x ≠ x₀ ⇒ x ∈ U₁ ⇒ f(x) ∈ V₁.

V₂ intorno di l₂ ∃ U₂ intorno di x₀ t.c. ∀ x ∈ D, x ≠ x₀ ⇒ x ∈ U₂ ⇒ f(x) ∈ V₂.

Limiti di funzioni da R in R

Teorema di unicità del limite

Sia f: D -> R una funzione, x₀ ∈ R un punto di accumulazione per D e l₁, l₂ ∈ R.

Se l₁ e l₂ sono limiti di f(x) per x -> x₀, allora l₁ = l₂.

Fatto importante: se esiste lim_x->x₀ f(x) = l, allora l è unicamente determinato.

Dimostrazione

Siano l₁, l₂ ∈ R t.c. l₁ = lim_x->x₀ f(x)   l₂ = lim_x->x₀ f(x) e supponiamo per assurdo che l₁ ≠ l₂.

Per la proprietà di separazione di R esistono V₁ intorno di l₁ e V₂ intorno di l₂ tali che V₁ ∩ V₂ = ∅.

Per la definizione di limite, sappiamo che: ∀ V₁ intorno di l₁ ∃ U₁ intorno di x₀ t.c. ∀ x ∈ D, x ≠ x₀    x ∈ U₁ ⇒ f(x) ∈ V₁.

∀ V₂ intorno di l₂ ∃ U₂ intorno di x₀ t.c. ∀ x ∈ D, x ≠ x₀    x ∈ U₂ ⇒ f(x) ∈ V₂.

Per le proprietà degli intorni, sappiamo che esiste un intorno t.c. ⊆ ∩. Allora, per definizione di punto di accumulazione, ∀ x ∈ D, x ≠ x₀ t.c. x ∈ U.

Quindi, sfruttando le due definizioni di limite sopra scritte, abbiamo contemporaneamente x ∈ U ⊂ U₁ ⇒ f(x) ∈ V₁ e x ∈ U ⊂ U₂ ⇒ f(x) ∉ V₂.

Ovvero che f(x) ∈ V₁ ∩ V₂ = Ø → assurdo, perché abbiamo detto prima che V₁ ∩ V₂ = Ø.

Ne deduciamo, dunque, che l₁ = l₂.

x₀ = ∞ l = -∞ ∀ M ∈ ℝ t.c. ∀ x ∈ D x MLE.

Le nove definizioni di limite

Definizione di limite

Siano f: D → ℝ una funzione e x₀ ∈ ℝ un punto di accumulazione per D.

Allora l ∈ ℝ si dice limite di f(x) per x che tende a x₀ e si scrive lim_x→x0 f(x) = l se ∀ V intorno di l = ∃ U intorno di x₀ t.c. ∀ x ∈ D, x ≠ x₀, x ∈ U ⇒ f(x) ∈ V.

Nove definizioni di limite

• X₀ ∈ ℝ, l ∈ ℝ, V = (l - ε, l + ε), U = (x₀ - δ, x₀ + δ), ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. ∀ x ∈ D, x ≠ x₀, |x - x₀| < δ ⇒ |f(x) - l| < ε.
• X₀ ∈ ℝ, l = +∞, V = (M, +∞), U = (x₀ - δ, x₀ + δ), ∀ M ∈ ℝ ∃ δ > 0 t.c. ∀ x ∈ D, x ≠ x₀, |x - x₀| < δ ⇒ f(x) > M.
• X₀ ∈ ℝ, l = -∞, V = (-∞, M), U = (x₀ - δ, x₀ + δ), ∀ M ∈ ℝ ∃ δ > 0 t.c. ∀ x ∈ D, x ≠ x₀, |x - x₀| < δ ⇒ f(x) < M.
• X₀ = +∞, l ∈ ℝ, V = (l - ε, l + ε), U = (N, +∞), ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℝ t.c. ∀ x ∈ D, x > N ⇒ |f(x) - l| < ε.
• X₀ = +∞, l = +∞, V = (M, +∞), U = (N, +∞), ∀ M ∈ ℝ ∃ N ∈ ℝ t.c. ∀ x ∈ D, x > N ⇒ f(x) > M.
• X₀ = +∞, l = -∞, V = (-∞, M), U = (N, +∞), ∀ M ∈ ℝ ∃ N ∈ ℝ t.c. ∀ x ∈ D, x > N ⇒ f(x) < M.
• X₀ = -∞, l ∈ ℝ, V = (l - ε, l + ε), U = (-∞, N), ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℝ t.c. ∀ x ∈ D, x < N ⇒ |f(x) - l| < ε.
• X₀ = -∞, l = +∞, V = (M, +∞), U = (-∞, N), ∀ M ∈ ℝ ∃ N ∈ ℝ t.c. ∀ x ∈ D, x < N ⇒ f(x) > M.
• X₀ = -∞, l = -∞, V = (-∞, M), U = (-∞, N), ∀ M ∈ ℝ ∃ N ∈ ℝ t.c. ∀ x ∈ D, x < N ⇒ f(x) < M.

Teorema della permanenza del segno

Siano f: D → ℝ una funzione e x_o ∈ ℝ di accumulazione per D.

Se limite di f(x) per x → x_o è l > 0, allora f(x) > 0 definitivamente per x → x_o.

Dimostrazione: analogamente per l'altro caso.

Sia l := lim_x→xo f(x). Supponiamo che l > 0.

Allora esiste un intorno V di l t.c. V ⊂ (0, +∞). Infatti:

Se l ∈ ℝ, V = (l - ε, l + ε) è sufficiente prendere ε = l/2, ovvero un numero poco più grande di 0.

V = (l - l/2, l + l/2), ovvero V = (l/2, 3l/2).

Se l = +∞, V = (M, +∞), allora si può scegliere μ = 1, ovvero un numero poco più grande di 0.

V = (1, +∞).

In ogni caso, dunque, V intorno di x_o t.c. ∀ x ∈ D, x ≠ x_o, x ∈ U ⇒ f(x) ∈ V.

Ovvero ∀ x ∈ D, x ≠ x_o, x ∈ U ⇒ f(x) > 0.

Cioè f(x) > 0 definitivamente per x → x_o.

Fatto importante: vale anche col caso negativo. Poiché per x "vicino" a x_o, f(x) deve essere "vicino" a l, se quest'ultimo è positivo deve per forza esserlo anche f(x).

Teorema del confronto

Siano \( f, g : D \rightarrow \mathbb{R} \) due funzioni e \( x_0 \in \mathbb{R} \) un punto di accumulazione per \( D \).

Se \( f(x) \leq g(x) \) definitivamente per \( x \rightarrow x_0 \), allora \[\lim_{x \to x_0} f(x) \leq \lim_{x \to x_0} g(x)\] se esistono.

Caso particolare

Corollario del teorema della permanenza del segno.

Siano \( f : D \rightarrow \mathbb{R} \) una funzione e \( x_0 \in \mathbb{R} \) un punto di accumulazione per \( D \).

Se \( f(x) \geq 0 \) definitivamente per \( x \rightarrow x_0 \), allora, se esiste, \[\lim_{x \to x_0} f(x) = l \geq 0 \quad (l \geq 0)\].

Dimostrazione del corollario

Consideriamo la funzione \( f(x) \). Per assurdo, supponiamo che \[\lim_{x \to x_0} f(x) = l allora \(\lim_{x \to x_0} -f(x) = -l > 0 \) per il teorema della permanenza del segno.

Quindi, esiste \( U \) intorno di \( x_0 \) in cui \( f(x) > 0 \), ovvero \( f(x) \). Per ipotesi, però, sappiamo che esiste \( U' \) intorno di \( x_0 \) in cui \( f(x) \geq 0 \).

Di conseguenza, per le proprietà degli intorni e per definizione di punto di accumulazione, \[ \exists x \in D, x \neq x_0 \, t.c. \, x \in (U \cap U' ) \Rightarrow f(x) \leq 0 \].

Ovvero tale per cui \( f(x) \) è contemporaneamente maggiore o uguale a 0 e minore di 0. Impossibile.

Teorema dei due carabinieri

Siano \( f, g, h : D \to \mathbb{R} \) ed \( x_0 \in \mathbb{R} \) di accumulazione per \( D \).

Supponiamo che:

• \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \) definitivamente per \( x \to x_0 \).
• \( \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l \in \mathbb{R} \).

Allora anche \( \lim_{x \to x_0} g(x) \) esiste ed è uguale a \( l \).

Dimostrazione

Supponiamo che valga \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \quad \forall x \in D \).

Per la definizione di limite affinché \( g(x) \) abbia limite \( l \) per \( x \to x_0 \), per ogni intorno \( V \) di \( l \) dobbiamo trovare \( \epsilon \) intorno di \( x_0 \) t.c. \( \forall x \in D, x \neq x_0, x \in \epsilon \implies f(x) \leq g(x) \leq h(x) \).

Fissato \( V \) intorno di \( l \) qualsiasi:

• \( U_1 \) intorno di \( x_0 \) t.c. \( \forall x \in D, x \neq x_0, x \in U_1 \implies f(x) \in V \).
• \( U_2 \) intorno di \( x_0 \) t.c. \( \forall x \in D, x \neq x_0, x \in U_2 \implies h(x) \in V \).

Per le proprietà degli intorni, prendiamo \( U = U_0 \cap U_1 \cap U_2 \) intorno di \( x_0 \). Allora \( U \subseteq U_1 \cup U_2 \).

\( \forall x \in D, x \neq x_0, x \in U \implies \)

\( V \ni f(x) \leq g(x) \leq h(x) \in V \)

\( \square \)

Siccome \( V \) è un intervallo, per definizione di intervallo \((\forall a, b \in I, t.c. a \leq b \quad a \leq x \leq b \implies x \in I) \), \( g(x) \in V \).

Teorema

Principio di sostituzione degli infinitesimi

Siano f, f₁, g, g₁ : D → ℝ funzioni e x₀ ∈ ℝ di accumulazione per D.

Se:

• F(x) = f₁(x) + o(f₁(x)) per x → x₀.
• G(x) = g₁(x) + o(g₁(x)) per x → x₀.
• G(x) ≠ 0 definitivamente per x → x₀.

Allora: lim_x→x₀ f(x)/g(x) = lim_x→x₀ f₁(x)/g₁(x).

Fatto importante: il principio di sostituzione degli infinitesimi, P.d.S., in pratica afferma che nel calcolo di un limite è trascurabile il contributo dato da quantità che sono o-piccolo di altre che già compaiono.

Dimostrazione

Innanzitutto, da ipotesi g(x) ≠ 0 definitivamente per x → x₀, quindi possiamo calcolare lim_x→x₀ f(x)/g(x) in quanto sappiamo sicuramente che anche g₁(x) ≠ 0 definitivamente per x → x₀.

Allora:

lim_x→x₀ f(x)/g(x) = lim_x→x₀ (f₁(x) + o(f₁(x))) / (g₁(x) + o(g₁(x))).

= lim_x→x₀ (f₁(x)/g₁(x) + o(f₁(x))/g₁(x)).

= lim_x→x₀ f₁(x)/g₁(x) / (1 + (o(g₁(x))/g₁(x))).

Poiché per definizione di o piccolo, o(f₁(x)) / g₁(x) ⟶ 0 e o(g₁(x)) / g₁(x) ⟶ 0 per x ⟶ x₀, si ottiene che:

== lim_x⟶x0 f₁(x) / g₁(x) · *Perm: Spiegazione del fatto che.

Definizione di o piccolo

Siano f, g : D ⟶ ℝ funzioni, x₀ ∈ ℝ di accumulazione per D e g(x) ≠ 0 definitivamente per x ⟶ x₀.

Si dice che f è o piccolo di g per x ⟶ x₀.

Si scrive f = o(g), o anche f ∈ o-(g), se lim_x⟶x0 f(x) / g(x) = 0.

Per definizione di o piccolo, dunque, possiamo dire lim_x⟶x0 o(g(x)) / g(x) = 0.