Limiti e funzioni continue

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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Derivate

Limiti e funzioni continue

Se il valore di una funzione f(x) si avvicina al valore l quando x si avvicina ad x0 diciamo che f(x) ha

come limite l per x tendente ad x0.

Noi per rappresentare questo fatto usiamo la seguente notazione matematica :

lim f x l

x x

0

Perché f(x) abbia limite l quando x si avvicina ad x0, deve essere vero che i limiti destro e sinistro per x

tendente ad x0 siano uguali. Scriviamo così in notazione matematica

se e solo se

lim f x l

x x

0 e

f

lim x l lim x l.

f

+ -

x x

x x 0

0

Una funzione f(x) si dice continua in x = x0 se:

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1. f(x0) è definita;

f x esiste; e

2. lim

x x

0 f x f x .

3. lim 0

x x

0

C'è differenza tra un limite che esiste in un punto del dominio o di accumulazione per il dominio di una

funzione e la continuità della funzione nel punto? Sì. La continuità impone una condizione più forte.

Infatti, perché un limite esista è irrilevante che il valore della funzione esista in x = x0, o anche che x0

appartenga al dominio della funzione. Per la continuità, noi dobbiamo poter valutare la funzione in x0,

e questo valore deve coincidere con il limite.

1 . 1

è uguale a

sin

lim t

t

t 0 1 . t

sin .

Questo limite esiste se x è misurato in radianti, ma 0 non appartiene al dominio di t

1 . =

0

sin

0

Esistono vari modi di calcolare i limiti.

1. Definiamo una lista di valori che si avvicinino ad e calcoliamo il valore della funzione in

x0

ciascuno di questi punti.

Se i valori della funzione si avvicinano quanto si vuole ad un unico numero, quel numero è il limite.

2 .

x 10 x 3

lim

x 11

i 1 .. 4

x 2 .

i x 3

10 x

i i

10 3

10.5 2.25

10.9 6.81

10.9995 7.994

I numeri nella colonna di destra tendono a 8 quando la variabile indipendente tende a 11. Usiamo valori

tendenti a 11 per difetto e per eccesso.

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w 2

i .

10 w

w 3

i i

12 21

11.5 14.25

11.1 9.21

11.00001 8

2. Se le funzioni sono