L'identità di Fibonacci

L’identità di Fibonacci

a cura di Flavio Cimolin (ultimo aggiornamento: 14/10/2006)

Sapreste trovare sei numeri naturali che soddisfino la seguente uguaglianza?

2 2 2 2 2 2

(A + B ) * (C + D ) = E + F

Il compito non sembra affatto facile, data la difficoltà in generale di risolvere equazioni diofantee

(ovvero riguardanti numeri interi) di grado superiore al primo. Eppure in questo caso la soluzione

esiste, ed è anche molto elegante. Essa è data dalla seguente identità puramente algebrica, nota

appunto con il nome di Identità di Fibonacci:

Per qualsiasi numero intero inserito al posto delle variabili a, b, c, d, l'identità si verifica sempre! E

così ad esempio sostituendo i valori 2, 1, 3, 2 rispettivamente per a, b, c, d, si scopre che:

2 2 2 2 2 2

(2 + 1 )*(3 + 2 ) = 4 + 7

e si possono trovare infiniti altri esempi.

Credete sia finita qui? Invece no, esiste un'altra identità simile che è ancora più bella, e che riguarda

somma e prodotto di ben 4 quadrati. L'analogia di questa identità, trovata da Eulero, con la

precedente, è veramente notevole:

Ovviamente grazie a questa spettacolare formula diventa facilissimo trovare soluzioni

dell'equazione diofantea:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(A + B + C + D ) * (E + F + G + H ) = I + L + M + N

Quindi ad esempio si può ricavare l'identità numerica:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(1 + 2 + 3 + 4 ) * (5 + 6 + 7 + 8 ) = 12 + 24 + 30 + 60

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