Lezioni, Metodi Matematici

Esempio piano di produzione

Una ditta produce un certo bene di consumo, lo immagazzina e lo vende.

y(t) quantità in magazzino al tempo t.

y₀ quantità iniziale in magazzino (t=0).

r(t) la domanda del bene di consumo al tempo t (funzione nota).

u(t) la produzione del bene di consumo al tempo t (controllo).

Equazione di stato

y'(t) = u(t) - r(t)

y(0) = y₀

y₀ ≥ 0

y(t) ≥ 0

Il costo dipende da:

• Quanto si produce (u).
• Quanto si immagazzina (y).
• t (in inverno si deve riscaldare, in estate raffreddare).

Variabili in gioco

• y(t): Variabile di stato.
• y(0): Da dove parto.
• y(T): Dove devo arrivare.
• u(t): Variabile di controllo.

Esempio consumo carburante

Per arrivare da y(0) = A a y(T) = B nel tempo T.

y(t) posizione al tempo t.

u(t) l’accelerazione che possiamo imprimere all’auto, è naturale supporre |u(t)| limitata, ad es. u = -1 frenata massima e u = 1 accelerazione massima.

Equazione di stato

y''(t) = u(t)

Il consumo istantaneo di carburante f(t, y, y', y'') dipende da:

• u (da aumentare il consumo acceleratore).
• y' (mediante la resistenza dell’aria).
• x' (strada più o meno accidentata o salite/discese).
• t (in alcune ore del giorno si consuma più o meno secondo temper.).

Il problema di controllo

Min{ ∫₀^T f(t, y, y', u)dt : y'' = u, y(0) = A, y(T) = B, |u(t)| ≤ 1 }

Integrazione xf k = consumo istantaneo e io voglio quello totale.

Problema di minimo non su R ma su uno spazio di funzioni, dove ogni punto è una funzione.

Modello matematico

Def: Insiemi di equazioni e/o relazioni che sono in grado di catturare le caratteristiche del fenomeno in esame, descrivere e prevederne l’evoluzione nel tempo.

Problemi di controllo

Come ottengo le equazioni:

• Leggi generali, es: leggi di conservazione e di bilancio della massa, energia, momenti.
• Relazioni costitutive: verificate solo sperimentalmente e dipendono dalle caratteristiche del fenomeno in studio.

La bontà del modello si misura comparando la sua previsione con il risultato che accade in realtà.

Semplificazione del modello rispetto alla realtà:

• Riduzione del numero dei parametri da studiare: alcune variabili si ipotizzano costanti.
• Semplificazione delle equazioni (es. linearizzazione di alcune relazioni non lineari).

Necessariamente si fanno delle approssimazioni, quindi bisogna tenerne conto. Approssimazioni dovute a:

• Le equazioni che si ottengono non hanno spesso soluzioni esplicite: è necessario ricorrere a metodi numerici di approssimazione e valutarne poi la convergenza e la stabilità di tali metodi.
• Misurazioni affette da errori.

Realtà → Validazione → Previsione del modello.

Formulazione → Modello matematico → Analisi → Soluzione matematica.

Interpretazione → Previsione del modello.

Esempio piano di produzione

Una ditta produce un certo bene di consumo, lo immagazzina e lo vende.

y(t) quantità in magazzino al tempo t.

y₀ quantità iniziale in magazzino (t=0).

r(t) la domanda del bene di consumo al tempo t (funzione nota).

u(t) la produzione del bene di consumo al tempo t (controllo).

Equazione di stato

y'(t) = u(t) - r(t)

y(0) = y₀

y₀ ≥ 0 y(t) ≥ 0

Il costo dipende da:

• Quanto si produce (u
• Quanto si immagazzina (y
• t (in inverno si deve riscaldare, in estate raffreddare).

Variabili in gioco

• y(t): Variabile di stato.
• y(0): Da dove parto.
• y(T): Dove devo arrivare.
• u(t): Variabile di controllo.

Esempio consumo carburante

Per arrivare da y(0) = A a y(T) = B nel tempo T.

y(t) posizione al tempo t.

u(t) l’accelerazione che possiamo imprimere all’auto, è naturale supporre |u(t)| limitata ad es. u = -1 frenata massima e u = 1 accelerazione massima.

Equazione di stato

y''(t) = u(t)

Il consumo istantaneo di carburante f(t, y, y', u') dipende da:

• u (acceleratore).
• y' (mediante la resistenza dell'aria).
• y (strada più o meno accidentata o salite/discese).
• t (in alcune ore del giorno si consuma più o meno secondo temper.).

Il problema di controllo

Min ∫₀^T f(t, y, y', u)dt : y'' = u, y(0) = A, y(T) = B, |u(t)| ≤ 1

Integrale xf k = consumo istantaneo e io voglio quello totale.

Problema di minimo non su R ma su uno spazio di funzioni, dove ogni punto è una funzione.

Modello matematico

Def: Insiemi di equazioni e/o relazioni che sono in grado di catturare le caratteristiche del fenomeno in esame, descrivere e prevederne l'evoluzione nel tempo.

Come ottengo le equazioni.

Come si formalizza un modello.

Necessariamente si fanno delle approssimazioni, quindi bisogna tenerne conto. Approssimazioni dovute a:

Le equazioni che si ottengono non hanno spesso soluzioni esplicite: è necessario ricorrere a metodi nu