Lezioni e esercizi, Analisi matematica TB

Indice

1 Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Equazioni differenziali

• Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili . 2
• Equazioni differenziali del primo ordine lineari . . . . . . . . . . . . 4
• Equazioni differenziali lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . 5
• Equazioni differenziale e numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . 7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Numeri complessi 12

3 Equazioni differenziali lineari del II ordine a coefficienti costanti

• Caso omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• Caso non omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

... ..... ..... ...... ..... ..... ..... . 14

4 Topologia di nR

• Limiti in nR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• Estremanti relativi e derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Funzioni da nR a R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Funzioni da n mR a R . ..... ..... ...... ..... ..... ..... . 26

7 Curve e traiettorie ..... ..... . 27

8 Estremanti vincolati e moltiplicatori di Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9 Campi vettoriali e lavoro... ..... ..... ...... ..... ..... ..... . 33

10 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . 38

12 Integrali in senso generalizzato di una variabile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

13 Serie 12

Sezione 1

Analisi matematica T-B

Equazioni differenziali

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili

Siano a: continua dove intervallo e b: continua.

Definizione 1. I ! I ! R R J R dove intervallo; e siano e. Una soluzione del problema di Cauchy J R t I x J.

x_ = a(t)b(x) (PC)

x(t₀) = x₀

è una funzione dove tale che:

1 I' C (H ; R) t H

0 8t H

_' (t) = a(t)b('(t))

'(t₀) = x₀

Se è soluzione del (PC). Infatti, se pongo.

Nota 2. b(x₀) = 0 '(t) = x(t) = x₀ '(t) = x₀

avrei e '_ (t) = a(t)b('(t)) = a(t)b(x₀) = 0 8t I

'(t₀) = x₀

Trovare la soluzione del problema di Cauchy

Esempio 3. _ = x t x = 0

x(0) = 0 8t R

Solution. x(t)

Trovare la soluzione del problema di Cauchy

Esempio 4. 2x_ = x

x(0) = 1

= 1 e = ; = 0 x = 1 = = =

Solution. Ho che per e ho. Se pongo che:

2a(t) b(x) x t I J R. x '(t)

ho:

0 0

_'(t) _ (t) = (t) = 1 quindi

2 )' ' 2

Z Z

'(t) _ (s) t t

' ds = 1 ds

)(s) 2't t

0 0

Z

_ (s) t

' = ds

¡t t

0

(s)2't₀ = du = _ (s) ds e ) ponendo ho gli estremi integrazione diventano 0 u '(s) ' d '(t e'(t):

0 Z Z

'(t) '(t)

du du 1 1

'(t) = = = = + 1

¡ ¡ ¡

t t

0 2 2u u u

'(t) '(t₀) 1 1

0 1 1

= = = =)

1 ¡ ¡

t t

t) '(t₀)

1 ¡

'(t) t

tale equazione diverge per t = 1, quindi, avendo scelto la condizione iniziale in t = 0

= [¡1; 1)

scelgo come dominio cui la funzione è definita l'intervallo ' H R

2 Equazioni differenziali 3

1 = Figura 1. '(x) ¡1 x

Teorema 5. di esistenza di almeno una soluzione del (PC)

x_ = a(t)b(x)

dove

x(t₀) = x₀

a C(I ; R); t I R; b C(J ; R); x J R.

0 0

tale che se sono così definite allora è:

19 H a; t; b; x; I; J I; t H e ' C(H ; R) '

0 0 0

soluzione del (PC).

Caso con in tal caso è soluzione.

Dimostrazione. b(x₀) = b('(t₀)) = 0; '

0 0

dell'equazione differenziale cioè 8t x_ = a(t)b(x) '_ (t) = a(t)b('(t)) H

'_ (t) ma se ho che è soluzione, 8t 8t I = a(t) b('(t₀)) = 0 '(t) = x I.

0 0

b('(t))

Infatti ho che nel caso generale, invece,

'_ (t) = 0 = a(t)b('(t)) = a(t)b(x₀) = 0:

0

ho che è soluzione dell'equazione differenziale cioè:

' x_ = a(t)b(x) '_ (t) =

R R t t

'_ (t) '_ (s)

8t , 8t, 8t

a(t)b('(t)) H I = a(t) ds = a(s) ds H

b('(t)) t b('(s)) t

0 0

abbastanza piccolo da avere. Se pongo ho:

8t I b('(t)) =/ 0 H. u = '(s) du =

gli estremi integrazione diventano:

0

'_ (s) ds e d '(t₀) e'(t):

0

Z Z Z

t '(t) '(t)

'_ (s) du du

ds = =

b('(s)) b(u) b(u)

t '(t₀) x₀

0 0 0

R R

'(t) t

due se chiamo ho A(t) e A(t) è una quantità

('(t)) = ('(t)) = a(s) ds =

x b(u) t

0 0

nota che posso calcolare, per cui, dato che per le ipotesi così calcolata è

('(t))

invertibile mi posso ricavare soluzione di (PC)

¡1 8t H I.

'(t) = (A(t))

3 4 Sezione 1

Tale teorema, però, non mi dice quante soluzioni ho, infatti esistono.

Nota 6. '(t)(PC) aventi le ipotesi del teorema appena enunciato che hanno più soluzioni, ma rafforzando le ipotesi si può enunciare il teorema di unicità della soluzione del (PC):

con intervallo; con intervallo; se ho:

Teorema 7. t I R I x J R J a C(I ;

0 0

il problema di Cauchy (PC)

1 R) e b C¹(I ; R); x_ = a(t)b(x)

x(t₀) = x₀

ha una e una sola soluzione con!

'(t): H R H I:

Ciò vuol dire che se ho dove:

Nota 8. ! ! ' : H R e ' : H R H H I ;

1 1 2 2 1

sono ho che:

1 8t H \H H I e ' e ' C H ' (t) = ' (t).

2 1 2 1 2 1 2

Equazioni differenziali del primo ordine lineari

Siano.

Definizione 9. di soluzione di un'equazione lineare del primo ordine.

Intervallo. Dove una soluzione dell'equazione:

a C(I ; R) e b C(I ; R) I R '

differenziale del primo ordine lineare (EL) è una funzione:

1

x_ + a(t)x = b(t)

' C(I ;

tale che 8t I R) '_ (t) + a(t)'(t) = b(t).

Si nota che nel caso di equazioni differenziali lineari la soluzione.

Importante 10. è definita su tutto l'intervallo su cui sono definiti i coefficienti.

Si dice integrale generale (IG) di (EL).

Definizione 11. di Integrale generale.

L'insieme soluzione di:

1 f': ¡! I R: ' (EL)g C¹(I ; R)

Siano intervallo e una funzione è:

Teorema 12. 1 I R a; b C(I ; R): x C(I ; R)

soluzione di tale che:

9x(EL) R

0 Z t

¡A(t) ¡A(t)A(s)

x(t) = e e b(s) ds + e x

0

t 0

R t

dove e è fissato:

A(t) = a(s) ds t I

0

t₀

g_ g_

So che e vorrei avere che è.

Dimostrazione. (x g)_ = x_g + xg_ = g x_ + x = a(t)g g

un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili e la posso risolvere ottenendo:

Z Z R t t t

g_ a(s) ds

A(t)

dt = a(s) ds) g = e = e

t 0

g t t

0 0

e da (EL) moltiplicando entrambi i membri per ottengo:

A(t)e^A(t) A(t) A(t) A(t) A(t) A(t)

) )

e (x_ + a(t)x) = e b(t) e x_ + e a(t)x = e b(t) e b(t) =

d da cui ottengo:

A(t)[e x]dt

Z Z

t t

dA(s) A(s)

e b(s) ds = [e x(s)] ds ds

t t

0 0

4 Equazioni differenziali 5

e per il teorema fondamentale del calcolo integrale posso scrivere:

Z t A(s) A(s) t A(t) A(t₀)

¡e b(s) ds = [e x(s)] = e x(t) e x(t₀)

0

t 0

t₀

e quindi, ponendo (in quanto posso sceglierlo arbitrariamente) e ricavando:

A(t₀) = 0

0

x(t) ottengo:

Z Z

t t

¡A(t) ¡A(t)A(s) A(s)

x(t) = e x(t₀) + e b(s) ds = e x + e b(s) ds

0 0

t t 0 0

Si può osservare che, ovviamente, la soluzione del problema di Cauchy.

Nota 13. x_ + a(t)x = b(t)

x(t₀) = x₀

h i R t

è proprio:

¡A(t) A(s)

x(t) = e x + e b(s) ds

0

t₀

Se l'equazione si dice omogenea e ha.

Nota 14. b(t) = 0 8t I

x_ + a(t)x = b(t) = 0

h i h i R R t t

soluzione:

¡A(t) ¡A(t)A(s) A(s)) )

x(t) = e x + e b(s) ds x(t) = e x + e 0 ds

0 0

t t

0 0

con cioè l'integrale generale dell'equazione lineare omogenea:

¡A(t)

x(t) = e x x R,

0 0

del primo ordine è:

x_ + a(t)x = 0

Z t

IG(ELO) ¡!= x: I R: x(t) = x e ; x R; A(t) = a(s) ds

0 0

t 0

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine

di soluzione di un'equazione differenziale lineare del secondo.

Definizione 15. ordine. Sia intervallo e una soluzione dell'equazioni differenziale lineare del secondo ordine (EL2) è una funzione:

I R a; b; f C(I ; R):

x + a(t)x_ + b(t)x = f(t)

tale che:

2 8t I ' C²(I ; R) '(t) + a(t)'_ (t) + b(t)'(t) = f(t)

Si può osservare che la soluzione è definita su tutto l'intervallo I.

Nota 16. '(t)

di equazione omogenea associata. Si dice equazione omogenea.

Definizione 17. associata (EL2O) dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine (EL2) l'equazione:

z + a(t)z_ + b(t)z = 0

L'insieme è uno spazio vettoriale (analogamente a.

Importante 18. 2 1 C²(I ; R) C(I ;

e ciò vuol dire che se si ha che:

2 2 R) e C(I ; R)) '; C²(I ; R) ' + C²(I ; R);

_ e (' + )_ = '_ + (' + ) = ' +

La somma di due funzioni è una funzione, cioè è la funzione.

Nota 19. ' +

Inoltre se ho allora:

2 2 8t I. (' + )(t) = '(t) + (t) ' C²(I ; R) e k R k' C²(I ; R) e k'

è la funzione e quindi la stessa cosa non:

(k')(t) = k'(t) (k')_ = k'_ e (k') = k'.

può esser detta per il prodotto tra le funzioni. Posso immaginare, quindi, come:

2 C²(I)

uno spazio vettoriale in cui è la funzione costante 0. La dimensione di:

2 20 C²(I) C²(I)

è infinita.

5 6 Sezione 1

sono soluzione dell allora se:

Teorema 20. 0 2 2 ' C²(I ; R) e ' C²(I ; R) (EL2O) k ' +

1 2 1 1

è soluzione di (EL2O) 8k k ' ; k R.

2 2 1 2

Voglio dimostrare che.

Dimostrazione. k ' + k '_ a(t) + k ' b(t) + k ' +

1 1 1 1 1 1 2 2

e so che:

k '_ a(t) + k ' b(t) = 0

2 2 2 2

k ' + k '_ a(t) + k ' b(t) = k (' + '_ a(t) +

1 1 1 1 1 1 1 1 1

e:

0 = 0 0 = 0

' b(t)) = k k ' + k '_ a(t) + k ' b(t) = k (' + '_ a(t) + ' b(t)) = k

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

e quindi:

k (' + '_ a(t) + ' b(t)) + k (' + '_ a(t) + ' b(t)) = k 0 + k 0 = 0

1 1 1 1 2 2 2 2 1 2

Si dice integrale generale IG(EL2) C l'insieme delle soluzio-.

Definizione 21. 2 (I)

ni di (EL2).

Se allora:

Nota 22. ' IG(EL2O) e ' IG(EL2O) e k ; k R k ' + k ' IG(EL2O).

1 2 1 2 1 1 2 2

IG(EL2O) è un sottospazio vettoriale di.

Proposizione 23. 2 C²(I).

allora se è soluzione di (EL).

Teorema 24. ' IG(EL2O) e IG(EL) ' + IG(EL)

allora se ¡; IG(EL) IG(EL2O):

1 2 1 2

con se ' IG(EL ) e ' IG(EL ) (EL ): x + a(t)x_ + b(t)x = f(t) e (EL ): x +

1 1 2 2 1 1 2

con e se a(t)x_ + b(t)x = f(t) k ; k R) k ' + k ' IG(EL ) (EL ): x + a(t)x_ +

2 1 2 1 1 2 2 3 3

b(t)x = k f(t) + k f(t) = f(t):

1 1 2 2 3

Voglio dimostrare che.

Dimostrazione. (' + ) + (' + )_ a(t) + (' + )b(t) = f(t) _

e so che e e quindi:

' + '_ a(t) + 'b(t) = 0 + a(t) + b(t) = f(t) (' + ) + (' + _)_ a(t) + (' + )b(t) = ' + + '_ a(t) + a(t) + 'b(t) + b(t) = (' + '_ a(t) + 'b(t)) +

¡ _ + a(t) + b(t) = (0) + (f(t)) = f(t).

Voglio dimostrare che e so che:

¡ ¡ ¡

( ) + ( )_ a(t) + ( )b(t) = 0

1 2 1 2 1 2

_ _

e e quindi:

¡ + a(t) + b(t) = f(t) + a(t) + b(t) = f(t) ( ) +

1 1 2 2 2 1 2

_ _

¡ ¡ ¡ ¡ ¡

( )_ a(t) + ( )b(t) = + a(t) a(t) + b(t) b(t) =

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

¡ ¡ _ _

¡ ¡

+ a(t) + b(t) + a(t) + b(t) = (f(t)) (f(t)) = 0.

1 1 1 2 2 2

Voglio dimostrare che:

k ' + k '_ a(t) + k ' b(t) + k ' + k '_ a(t) + k ' b(t) =

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

ma so che:

k f(t) + k f(t) = f(t)

1 1 2 2 3

k ' + k '_ a(t) + k ' b(t) = k (' + '_ a(t) +

1 1 1 1 1 1 1 1 1

e e:

' b(t)) = k f(t) k ' + k '_ a(t) + k ' b(t) = k (' + '_ a(t) + ' b(t)) = k f(t)

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

e quindi:

k (' + '_ a(t) + ' b(t)) + k (' + '_ a(t) + ' b(t)) = k f(t) + k f(t) = f(t)

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 3

con intervallo sia.

Teorema 25. a; b C(I) I R e (EL2O) z + a(t)z_ + b(t)z =

allora IG(EL2O) ha dimensione come sottospazio vettoriale di:

20; 2 C²(I).

Dobbiamo capire cosa vuol dire che IG(EL2O) ha dimensione 2, e dobbiamo dimostrare, quindi, che esistono 2 funzioni (vettori) linearmente indipendenti in IG(EL2O) ma non ne esistono 3.

6 Equazioni differenziali 7

Si dice che n funzioni sono linearmente indipendenti.

Definizione 26. f ; f ; ::::::; f

1 2 n

se si ha che:

8k ; k ; ::::; k R k f + k f + :::::: + k f = 0,

1 2 n 1 1 2 2 n n

k = k = :::::: = k = 0

1 2 n

Si dice che n funzioni sono linearmente dipendenti.

Definizione 27. f ; f ; ::::::; f

1 2 n

se tali che e:

9k 9k; k ; ::::; k R k f + k f + :::::: + k f = 0 ; k ; ::::; k =/ 0.

1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n

Verificare se sono linearmente indipendenti:

Esempio 28. 2(t) = te (t) = t

1 2

Cioè devo verificare che:

28k ; k R e 8t R; k (t) + k (t) = k t + k t = 0, k =

1 2 1 1 2 2 1 2 1

Fisso ed ho che, se è un assurdo; se:

)k = 0: k ; k R k =/ 0 e k = 0 k t = 0 8t

2 1 2 1 2 1

è un assurdo, per cui:

2 2 )k = 0 e k =/ 0 k t = 0 8t k t + k t = 0, k = k = 0

1 2 2 1 2 1 2

con se:

Teorema 29. a; b C(I) I intervallo allora esiste una una sola soluzione al problema di:

2 R e t I e ' C²(I)

0

Cauchy (PC)

8< z + a(t)z_ + b(t)z = 0

(PC) z(t₀) = x₀

: z_(t₀) = x_₀

sono fissati:

dove x₀; x_₀ R

Del teorema 25. Divido in due parti la dimostrazione, nella prima.

Dimostrazione. parte dimostro che esistono almeno 2 soluzioni linearmente indipendenti dell'equazioni lineare omogenea del secondo ordine, mentre nella seconda parte dimostro che le soluzioni sono al più 2.

>Parte I: dimostro che Dim(IG(EL2O)) trovo, cioè, due soluzioni linearmente 2, indipendenti, e per far questo scelgo tali che:

' e '

1 2

Sia soluzione del con:

' (PC) x(t₀) = 1 e x_(t₀) = 0

1 0 0

Sia soluzione del con:

' (PC) x(t₀) = 0 e x_(t₀) = 1

2 0 0

e verifico che siano linearmente indipendenti, cioè verifico in che caso k ' + k ' =

1 1 2 2

con se voglio allora anche:

8t 0 k ; k R. k ' (t) + k ' (t) = 0 (k ' (t) + k ' (t))_(t) =

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

Mi metto nel caso di ed ottengo:

0) k '_ (t) + k '_ (t) = 0. t = t

1 2 0

1 2

k ' (t) + k ' (t) = k ' (t₀) + k ' (t₀) = k 1 + k 0 = 0, k = 0

1 1 2 2 1 1 0 2 2 0 1 2 1

k '_ (t) + k '_ (t) = k '_ (t₀) + k '_ (t₀) = k 0 + k 1 = 0, k = 0

1 2 1 0 2 0 1 2 2

1 2 1 2

e quindi sono linearmente indipendenti in quanto per cui l'(EL2O) ha:

k = k = 0

1 2

almeno 2 soluzioni.

6

Parte II: dimostro che Dim(IG(EL2O)) e lo faccio dimostrando che 2 tutte le funzioni che compongono l'integrale generale di (EL2O) possono essere generate come combinazione lineare di due soluzioni di (EL2O): mostro che:

con soluzione del con:

8' IG(EL2O) 9k ; k R: ' = k ' + k ' ' (PC) x(t₀) =

1 2 1 1 2 2 1 0

e soluzione del con. Per cui ho:

1 e x_(t₀) = 0 ' (PC) x(t₀) = 0 e x_(t₀) = 1. '(t₀) =

1 2 0 0 0

e k ' (t₀) + k ' (t₀) = k 1 + k 0 = k '_ (t₀) = k '_ (t₀) + k '_ (t₀) = k 0 +

1 1 0 2 2 0 1 2 1 0 1 0 2 0

1 2

e sapendo che una combinazione lineare di soluzioni di (EL2O) è ancora una:

k 1 = k

2 2

soluzione di (EL2O) posso scrivere una terza soluzione di (EL2O) =

'(t₀)' (t) +

0 1

IG(EL2O) che è, però, pari a:

'_ (t₀)' (t) ='(t₀)' (t) + '_ (t₀)' (t) = k ' +

0 2 0 1 0 2 1 1

per cui tutt