Lezioni, Analisi matematica II

Analisi 2

Calcolo limiti in coord. polari

Sia f: ℝ² → ℝⁿ e x̄₀ = (x₀, y₀) punto di accumulazione.

lim _x→x̄₀ f(x̄) = ℓ ⇔ ∀ε ∃δ : |f(x̄) - ℓ| < ε ∀x̄ ∈ B_δ(x̄₀) \ {x₀}

In coord. polari, x̄₀ = {x₀ + ρ cos θ, y₀ + ρ sin θ;} e x̄ ∈ B_δ(x̄₀) ⇔ 0 < ρ < δ ⇒ |f(x₀ + ρ cos θ, y₀ + ρ sin θ) - ℓ| < ε ⇔ ρ ∈ (0, δ) e θ ∈ [0, 2π]

Ma la scelta di δ non dipende da θ quindi la disequazione vale ancora se prendo inf rispetto a θ.

sup _θ∈[0,2π] |f(x₀ + ρ cos θ, y₀ + ρ sin θ) - ℓ| < ε ∀ρ ∈ (0, δ) ⇒ ma questa è la def di limite per ρ → 0⁺

Definizione

Una funzione f si dice differenziabile in x₀ ∈ X (aperto) ⊆ ℝ^M se ∃α ∈ ℝ^M tale che f(x̄) = f(x̄₀) + < α, x̄ - x̄₀ > + o(||x̄ - x̄₀||)

Teorema: proprietà di differenziabilità

Sia f : X → ℝ (X ∈ ℝ^m aperto), se f è diff. in x̄₀.

1. F è continua in x₀.
2. Esistono le derivate parziali in x₀ e α = ∇f(x̄₀).
3. F(x̄) = f(x̄₀) + < ∇f(x̄₀), x̄ - x̄₀ > + o(||x̄ - x̄₀||).
4. ∀ vettore v esiste D_vf(x) e vale la formula D_vf(x) = < ∇f(x̄), v >.

Analisi 2

Calcolo limiti in coord. polari

Sia f: ℝ²→ℝⁿ e x̄₀ = (x₀, y₀) punto di accumulazione (per semplicità i punti appartenenti a un intorno U/{x₀} ∈ X).

lim_x̄→x̄0 f(x̄) = ε ⇔ ∀ ε > 0 ∀ ∃ δ > 0: |f(x̄)-ε|<ε ∀x̄ ∈ B_δ(x̄₀)\{x₀\}

In coord. polari. x̄₀ = {x₀ + ρ cosθ, y₀ + ρ sinθ} e x̄∈B_δ(x̄₀) ⇔ 0<ρ<δ ⇔ |f(x₀+ρcosθ, y₀+ρsinθ)-ε|<ε ⇔ ρ∈(0,δ) e θ∈[0,2π]

Ma la scelta di δ non dipende da θ quindi la disuguaglianza vale ancora se prendo il sup rispetto a θ.

sup_θ∈[0,2π] |f(x₀+ρcosθ, y₀+ρsinθ)-ε|<ε ∀ρ∈(0,δ) ⇔ ma questa è la def di limite per ρ → 0⁺

Definizione

Una funzione f si dice differenziabile in x̄₀∈X (aperto) ⊆ ℝ^M se ∃α∈ℝ^M tale che f(x̄) = f(x̄₀) + <α, x̄-x̄₀> + o(||x̄-x̄₀||)

Teorema: proprietà di differenziabilità

♦ Sia f:X→R (X∈ℝ^M aperto), se f∈diff. in x̄₀.

1. F è continua in x̄₀.
2. Esistono le derivate parziali in x̄₀ e α=∇f(x̄₀).
3. F(x̄) = f(x̄₀) + <∇f(x̄₀), x̄-x̄₀> + o(||x̄-x̄₀||).
4. ∀ versore v esiste D_vf(x) e vale la formula D_vf(x) = <∇f(x),v>.

Dimostrazione

1) Se è differenziabile |f(x) - f(x₀)| = |<a, x - x₀>| + o(||x - x₀||) se x → x₀ deve tendere a 0.

Ma |<a, x - x₀>| + o(||x - x₀||) ≤ ||a|| * ||x - x₀|| + o(||x - x₀||) → 0.

Disuguaglianza di Schwartz.

2) Sia (e₁, ..., e_n) la base canonica di Rⁿ, ∀ k = 1, ..., n ∂f/_∂xk(x₀) = lim_t→0 f(x₀ + te_k) - f(x₀)/t.

Def. di diff. = lim_t→0 <a, te_k> + f/||e_k||/t = <a, e_k> ⇒ esiste limite finito ed esso è la k-esima componente di a ⇒ a = ∇f(x₀).

3) Stesso procedimento del punto 2 ⇒ D_N f(x₀) = <∇f(x₀), N> ⇒ direzione massima crescita.

D_N(f(x₀)) = || ∇f(x₀)|| * ||N|| * cos α