Lezione di calcolo delle probabilità per la scuola superiore

Il calcolo delle probabilità

«Nella misura in cui le leggi della

matematica si riferiscono alla realtà,

esse non sono certe; e nella misura

in cui sono certe, esse non si

riferiscono alla realtà.»

Albert Einstein-1922

Prof.ssa Laura Todisco

Liceo Ginnasio Statale «Aristosseno» -

Taranto

Introduzione

Già 3000 anni fa gli Egizi praticavano un

• Antenato del gioco dei dadi, che si

svolgeva lanciando una pietra. Il gioco dei

dadi era diffuso anche nell’antica Roma,

tanto che sono stati ritrovati alcuni studi su

tale gioco risalenti all’età di Cicerone.

Introduzione

Ma la nascita dello studio sistematico del

• Calcolo delle probabilità si fa risalire al 1654,

quando il matematico e filosofo Blaise Pascal,

per soddisfare una richiesta del cavaliere De

Meré, accanito giocatore di dadi, cominciò a

dedicarsi allo studio dei meccanismi che

regolano i giochi d’azzardo, intrattenendo a tale

scopo anche un’interessante corrispondenza

con il matematico Pierre de Fermat.

Eventi e probabilità

Definiamo evento una qualsiasi

• Affermazione a cui, a seguito di un

esperimento o di un’osservazione, si

possa assegnare univocamente un grado

di verità ben definito.

Esempio: nel lancio di un dado,

• Consideriamo l’evento:

E = “esce un numero pari”.

Eventi e probabilità

Un evento può essere:

• Certo: se accade con certezza (ad esempio, nel

lancio di un dado, è un evento certo E=“esce un

numero minore di 7”);

• Impossibile: se non può mai accadere

(nell’esempio precedente, è impossibile l’evento

E=“esce un numero maggiore di 6”)

• Casuale (o aleatorio): se può accadere oppure

no (nell’esempio precedente, è casuale l’evento

E=“esce un numero minore di 3”).

La probabilità classica

La probabilità p(E) di un evento casuale E è il

• Rapporto tra il numero f dei casi favorevoli e il

numero u dei casi possibili, considerati tutti

equiprobabili: f



p (E) u

Esempio

Estrai una carta da un mazzo di 40 e

• Considera l’evento:

E = “si estrae una figura”.

I casi possibili sono u=40, quelli favorevoli

sono f=12; la probabilità che si verifichi

l’evento E è dunque: 12 3

 

p (E) 40 10

Osservazioni

• La probabilità di un evento impossibile è 0;
• La probabilità di un evento certo è 1;
• La probabilità di un evento casuale (o

aleatorio) è compresa tra 0 e 1:

 

0 p (E) 1

Esempio

Consideriamo 3 lanci successivi di una

• Moneta. Qual è la probabilità di ottenere 2

volte testa (T) e 1 volta croce (C)?

I casi possibili sono:

– – – – – –

TTT TTC TCT TCC CTT CTC CCT

– CCC

cioè 8; di questi, soltanto 3 sono favorevoli;

quindi la probabilità richiesta è:

3



p 8

La probabilità dell’evento

Contrario

Evento contrario:

• Dato un evento casuale E, si definisce evento contrario

di E, e si indica con Ē, l’evento che si verifica quando

non si verifica E.

Ad esempio, nel lancio di un dado, consideriamo

l’evento:

E=“esce un numero multiplo di 3”;

l’evento contrario sarà:

Ē=“non esce un numero multiplo di 3”, cioè la sua

negazione.

La probabilità dell’evento

Contrario

Per l’evento E, i casi favorevoli sono 2, cioè se

• Escono o il 3 o il 6;

Per l’evento Ē, i casi favorevoli sono 4, cioè

• Tutti i rimanenti (1, 2, 4, 5).

Quindi le probabilità sono:

•  2



p (E) 6

4



p (E) 6

La probabilità dell’evento

Contrario

Si osserva facilmente che:

•  

p (E) p (E) 1

che equivale a:

 

p (E) 1 p (E)

La probabilità dell’evento

Contrario

Esempio:

• Lanciando 3 volte una moneta, qual è la probabilità di

ottenere almeno una testa (T)?

E=“ottenere almeno una testa”

L’evento contrario sarà:

Ē=“ottenere 3 croci”.

Seguendo quest’ultima strada, è sufficiente calcolare

la probabilità dell’evento Ē, che è 1/8 e ottenere

immediatamente: 1 7

    

p (E) 1 p (E) 1 8 8

La concezione

Frequentistica della

Probabilità

La definizione classica della probabilità non è

• Però applicabile a tutte le situazioni; inoltre la

stessa definizione è oggetto di critiche che

partono dalla considerazione che: “affermare

che tutti i casi sono equiprobabili significa fare a

priori una supposizione sulla loro probabilità di

verificarsi, utilizzando così nella definizione lo

stesso concetto che si vuol definire”!

La frequenza relativa

La frequenza relativa f(E) di un evento

• Sottoposto a n esperimenti, effettuati tutti nelle

stesse condizioni, è il rapporto tra il numero v

delle volte in cui si è verificato l’evento e il

numero n delle prove effettuate:

v



f (E) n

Esempio

Se consideriamo il lancio di una moneta e l’evento:

• E=“esce testa”, 1



p (E)

la probabilità classica ci dà il valore: 2

Se eseguiamo un numero elevato di lanci, possiamo

notare che il numero di volte che esce testa è quasi

uguale al numero di volte in cui si presenta croce.

dell’evento E si avvicina al