Probabilità e Statistica

Martina Contestabile ingegneria informatica - comune a-l A.a. 2020/21

Probabilità e statistica

Lunedì 22 Febbraio 2021

Introduzione

L’arte di apprendere dai dati.

La statistica è L’utilizzo dei metodi statistici comporta la raccolta di informazioni o dati scientifici, pratica usata da più di 1000 anni. Tuttavia, esiste una profonda differenza tra la raccolta di informazioni e la statistica inferenziale che ha portato alla definizione di un ampio gruppo di metodi statistici per contribuire al processo decisionale in ambito scientifico di fronte ad incertezza e variabilità, al fine di capire dove possano essere apportate delle modifiche per migliorare la qualità.

Illustrare e sintetizzare i dati statistica La parte della statistica che si occupa di è detta descrittiva: il suo scopo è quello di ridurre il volume dei dati osservati esprimendo l’informazione rilevante in essi contenuta attraverso indicatori numerici (media, moda, mediana, deviazione standard) e grafici (istogrammi, grafici ramo-foglia, box-plot).

Trarre conclusioni dai dati raccolti e dedurre La parte della statistica che si occupa di enunciati formalmente validi la statistica inferenziale è appunto. L’informazione è raccolta attraverso dei campioni, cioè un insieme di osservazioni.

Campioni I sono sottoinsiemi della popolazione che rappresenta tutti gli individui o gli oggetti di una particolare tipologia.

La base di partenza per comprendere la statistica inferenziale è lo studio dei concetti fondamentali del calcolo delle probabilità. Casualità.

L’elemento fondamentale da prendere in considerazione è la sono all’origine Fenomeni casuali o aleatori, cioè non completamente prevedibili a priori, di variazioni. Pertanto, per trarre delle conclusioni pienamente giustificate, è necessario fare assunzioni sulla probabilità che i dati da misurare assumano diversi valori possibili. Questo significa costruire un modello probabilistico.

I principi del calcolo delle probabilità ci permettono di giustificare la forza delle nostre conclusioni. Il calcolo delle probabilità permette dunque il passaggio dalla statistica descrittiva alla statistica inferenziale. Attraverso il calcolo delle probabilità è possibile formulare una trattazione matematica dell’incertezza. Pagina 1

Perché un manager deve conoscere la statistica?

• Come presentare e descrivere in modo appropriato le informazioni in suo possesso.
• Come trarne conclusioni riferite a intere popolazioni sulla base delle informazioni ottenute dai campioni.
• Migliorare i processi aziendali.
• Come ottenere previsioni affidabili.

In quali ambiti si possono utilizzare i metodi statistici?

• Ad esempio, nelle diverse aree funzionali di una azienda:
• Nella contabilità industriale: per selezionare i campioni utilizzati per l’auditing (verifica contabile) e per individuare le determinanti principali dei costi (cost driver).
• Nell’area finanziaria: per scegliere tra portafogli alternativi e per tracciare i trend delle misure finanziarie nel tempo.
• Nell’area produzione: per migliorare la qualità dei beni prodotti o dei servizi forniti dall’azienda.
• Nell’area marketing: per stimare le proporzioni dei clienti che preferisce un prodotto ad un altro ed il motivo sotteso a tale preferenza, o per trarre delle conclusioni su quale strategia pubblicitaria sia più efficace nell’aumentare le vendite di un prodotto.

Martedì 23 Febbraio 2021

Calcolo delle probabilità

Il concetto di probabilità nasce nel Rinascimento con lo studio dei codici segreti e si sviluppa in modo sistematico nel XVII secolo con i giochi d’azzardo.

Il calcolo delle probabilità è lo studio delle proprietà quantitative (come la frequenza) che possono essere osservate per quegli eventi il cui verificarsi o meno (in seguito ad osservazioni o prove) non è prevedibile in modo deterministico.

Tali eventi vengono detti casuali o aleatori. Matematicamente la probabilità viene descritta mediante una quantità scalare che caratterizza la frequenza di ricorrenza di un dato evento al ripetersi delle prove.

Teoria classica o a “priori”

Se l’esito delle prove può essere descritto da un numero finito n di casi possibili, allora la probabilità p di uno di tali casi viene definita “a priori” come:

p = f/n ∈ [0,1]

Dove f rappresenta il numero dei casi favorevoli. Questa è essenzialmente la definizione di Laplace: “La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili, quando questi sono tutti equiprobabili”.

f ≤ n ⇒ 0 ≤ p ≤ 1 e questo vale sempre. Pagina 2

Esercizio - La probabilità che lanciando sei volte una moneta si ottengano 3 teste e 3 croci è pari a? 20/64 = 5/16 = 31,25%.

Bisogna introdurre una tecnica di calcolo che renda il tutto veloce e preciso. Ciò è possibile grazie al calcolo combinatorio.

Difetti del metodo “a priori”

• Occorre supporre che gli eventi possibili siano in numero finito.
• Occorre supporre che gli eventi siano mutuamente esclusivi o incompatibili.
• Occorre supporre che gli eventi siano tutti ugualmente probabili (equiprobabili).

Il primo problema si supera introducendo la definizione di probabilità geometrica, che rappresenta un’estensione di quella classica.

Il secondo e il terzo possono essere superati solo cambiando teoria, passando alla teoria empirica o frequentista. Pagina 3

Teoria geometrica

La definizione secondo la teoria classica non si applica al gioco del franccaéreau: lancio di una moneta di diametro d che cade su un pavimento a piastrelle quadrate di lato c. Si scommette se la moneta cada all’interno di una piastrella oppure a cavallo di una o più piastrelle.

• I casi favorevoli sono tutti quelli in cui la moneta ha il centro che cade internamente al quadrato di lato c−d: il centro non può uscire dal quadrato di lato c−d.
• I casi possibili sono quelli in cui la moneta ha il centro che cade in un qualunque punto della piastrella.

Si noti che sia il numero di casi favorevoli che il numero di casi possibili sono infiniti.

Non è possibile contarli, ma si possono misurare utilizzando l’area occupata dai punti-evento (punti in cui cade il centro). La probabilità di fare franccaéreau è quindi p = (c − d)²/c².

La probabilità di non fare franccaéreau è q = 1 − p.

Se vogliamo che il gioco sia equo dovremmo avere q = p = 1/2, e cioè (c − d)²/c² = 1/2 ⇒ c/d = 2 + √2 ∼ 3,4142.

Buffon: il lato della piastrella deve essere circa 3 volte e mezza più grande del diametro della moneta affinché il gioco sia equo.

Ago di Buffon: si lancia un ago lungo su un pavimento a parquet, a listelli paralleli posti a distanza d > l. Calcolare la probabilità che, cadendo, l’ago intersechi una delle scanalature. Non è sufficiente conoscere la distanza del punto medio dell’ago dalla scanalatura, ma bisogna conoscere anche la sua inclinazione θ rispetto alla medesima.

Poiché l’ago deve intersecare la scanalatura, fissato θ, si ha: 0 ≤ x ≤ l/2 sin θ.

Casi favorevoli: area della regione che soddisfa. Pagina 4

Casi possibili: area del rettangolo πd/2.

2l/πd = se l = d ⇒ p = 2/π.

Con il computer è possibile simulare una serie di lanci dell’ago e tale metodo, detto di Montecarlo, può essere usato per dare una misura approssimata di π.

Poiché le regole e i metodi di calcolo nelle diverse teorie che abbiamo esaminato non differiscono tra loro, è possibile seguire l’impostazione dovuta ad A.N. Kolmogorov (1933), fondatore della Teoria Assiomatica della probabilità.

Il linguaggio utilizzato è quello della teoria degli insiemi.

Ragionamento che fece Barbier:

• Se l’ago interseca la listella, lo fa una volta sola.
• Se l’ago è lungo il doppio:
• Se non faceva intersezioni, continua a non farle. (p → 2p)
• Se faceva intersezioni, ora ne fa due.
• Se l’ago è lungo il triplo:
• Se non faceva intersezioni, continua a non farle. (p → 3p)
• Se faceva intersezioni, ora ne fa tre.

Il numero di intersezioni è proporzionale alla lunghezza, ovvero esiste un α ∈ ℕ | p = αl/d.

Ponendo la circonferenza con diametro pari a d, si ottiene 2 = απd ⇒ α = 2/πd ⇒ p = 2l/πd.

Teoria empirica o frequentista

È necessario concepire una serie di esperimenti o prove che avvengano tutte in condizioni “abbastanza” uniformi. In tal caso è possibile postulare l’esistenza di un numero p, detto probabilità dell’evento, e approssimarlo con la frequenza relativa con la quale le prove ripetute soddisfano l’evento.

La probabilità di un evento viene definita come il limite a cui tende la frequenza relativa di successo all’aumentare del numero delle prove: p = lim n→∞ nA/n.

Dove n è il numero delle prove, nA è il numero delle volte che si verifica un certo evento A.

Si noti che in questo caso non bisogna specificare né l’equiprobabilità né l’incompatibilità degli eventi.

Difetti della teoria frequentista

Si applica ad esperimenti ripetibili per i quali il limite per n → ∞ abbia senso. Pagina 5

Lunedì 1 Marzo 2021

Richiami di teoria degli insiemi

Ω: spazio, insieme universale, collezione di oggetti.

w ∈ Ω: punto o elemento.

A ⊂ Ω: insieme di punti di Ω.

Sottoinsieme A B ⇒ A ⊂ B ∨ B ⊂ A. Se ogni elemento di è anche elemento di.

Insiemi uguali A B A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B. Dati due insiemi e, se.

Insieme vuoto A ⇒ A = ∅. Se l’insieme non contiene punti.

Insieme complementare (di A rispetto ad Ω) CΩ A ⇒ Ā = A = Ω − A. È l’insieme di tutti i punti di Ω che non sono in A.

Insieme differenza A B A B ⇒ A − B. Dati due insiemi e, i punti di che non stanno in.

Unione A B ⇒ A ∪ B. Insieme dei punti di o di.

Intersezione A B ⇒ A ∩ B. Insieme dei punti di e di.

Leggi

Commutative A ∪ B = B ∪ A. A ∩ B = B ∩ A.

Associative A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ B. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

Distributive A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C). A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (B ∪ C).

Teoremi

• (Ā) = A.
• A ∩ Ω = A ∧ A ∪ Ω = Ω.
• A ∩ ∅ = ∅ ∧ A ∪ ∅ = A.
• A ∩ A = A ∧ A ∪ A = A.
• Leggi di De Morgana: (A ∪ B) = B̄ ∩ Ā.
• Leggi di De Morgana: (A ∩ B) = B̄ ∪ Ā.
• A − B = A ∩ B̄.

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{A} Ω Se è una famiglia di sottoinsiemi di.

∪ Ai unione di {Ai}i.

∩ Ai intersezione di {Ai}i.

i = 1,...,n ⇒ ⋃_i=1ⁿ Ai, ⋂_i=1ⁿ Ai rappresentano rispettivamente una unione e intersezione finita di {Ai}i.

Teoremi di De Morgan

(⋃i Ai) = ⋂i Āi.

(⋂i Ai) = ⋃i Āi.

Insiemi disgiunti

A B A ∩ B = ∅ se e sono disgiunti.

{Ai} sottoinsiemi di Ω si dicono a 2 a 2 disgiunti se Ai ∩ Aj = ∅ ∀i, j | i ≠ j.

{A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B̄). A, B ⊂ Ω ⇒

∅ = (A ∩ B) ∩ (A ∩ B̄).

A ⊂ B ⇒ {A ∩ B = A; A ∪ B = B.

Pagina 7

Spazio campione ed eventi

Lo spazio campione, indicato con Ω, è la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento concettuale.

Se lo spazio campione ha un numero finito di elementi, tali elementi si possono elencare separati da una virgola e racchiudere tra parentesi graffe { , }. Se lo spazio campione ha un numero infinito di elementi, può essere descritto tramite un’affermazione o una regola.

Ad esempio, Ω = {(x, y) | x² + y² ≤ 1}.

Un evento è un sottoinsieme dello spazio campione e si indica con le lettere maiuscole A, B, C...

Ω è detto evento certo.

∅ è detto evento impossibile.

Il complementare di un evento A rispetto ad Ω è il sottoinsieme di tutti gli elementi di Ω che non sono contenuti in A e viene indicato con Ā.

Esempi sul lancio di un dado

Ω = {1,2,3,4,5,6}

card(Ω) = n = 6 → Un possibile evento è “esce un numero pari” A = {2,4,6}.

Esempi sul lancio di tre monete

Ω = {T T T, T TC, TCT, CT T, TCC, CTC, CCT, CCC}

“Escono due teste e una croce” è un possibile evento → A = {T TC, CTC, CT T}.

Esempi sul tempo di vita di una lampadina

Ω = {t | t ≥ 0}, con t ad esempio misurato in ore.

“La lampadina si brucia prima di 300 ore è un evento” → A = {t | 0 ≤ t < 300}.

Operazioni con gli eventi

A, B ⊂ Ω. Se sono due eventi dello stesso spazio campione, l’intersezione di A e B, A ∩ B, è l’evento che contiene tutti gli elementi comuni sia ad A che a B.

A, B ⊂ Ω. Se sono due eventi dello stesso spazio campione che non hanno elementi in comune, cioè A ∩ B = ∅, i due eventi A e B si dicono disgiunti o mutuamente esclusivi o incompatibili.

A, B ⊂ Ω. Se sono due eventi dello stesso spazio campione, l’unione di A e B, A ∪ B, è l’evento che contiene tutti gli elementi che appartengono ad A o a B.

La relazione tra gli eventi e il corrispondente spazio campione può essere illustrata graficamente attraverso i Diagrammi di Venn, dove Ω è rappresentato da un rettangolo e gli eventi da curve chiuse in Ω.

In molti casi, per risolvere un problema di calcolo delle probabilità, è sufficiente contare il numero dei punti o di elementi nello spazio campione, senza doverli elencare uno ad uno.

Il principio fondamentale dell’enumerazione o conteggio, spesso indicato come regola moltiplicativa, così come la conoscenza dello spazio campione che contiene tutti i possibili ordinamenti di un gruppo di oggetti, detti permutazioni, oppure la conoscenza del numero dei possibili sottoinsiemi o classi in cui è possibile suddividere l’insieme originale, considerando l’ordine non rilevante, chiamate combinazioni, sono argomenti del calcolo combinatorio.

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Martedì 2 Marzo 2021

Probabilità di un evento

Non siamo interessati agli eventi, ma alla probabilità che uno di questi eventi si verifichi o meno. L’impostazione assiomatica parte dal concetto di σ-algebra o classe additiva.

La probabilità viene vista come una misura, cioè come una funzione che associa ad ogni sottoinsieme di Ω un numero reale non negativo, tale che la somma delle probabilità di tutti gli eventi sia uguale ad 1. Se la cardinalità di Ω è finita, diciamo card(Ω) = n, l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi, detto insieme delle parti, ha cardinalità 2ⁿ.

Ω = {a₁, a₂, ...., a_n}

k elementi fra n!

C_n,k = n! / k!(n − k)!

In quanti modi possibili posso scegliere k elementi? Ce lo dice C_n,k.

∑_k=0ⁿ C_n,k. Si usa il triangolo di Tartaglia.

(a + b)ⁿ = ∑_k=0ⁿ C_n,k a^n−kb^k.

Infatti, (a + b)² = ∑_k=0² C_2,ka^2−kb^k = C_2,0a² + C_2,12ab + C_2,2b². C.V.D.

Se Ω ha la cardinalità del continuo, il suo insieme delle parti è “troppo grande” perché su di esso si possa definire una misura.

Si considerano perciò i soli sottoinsiemi di Ω che costituiscono un insieme non vuoto A (classe additiva) tale che:

• A ∈ A → Ā ∈ A.
• ∀i ∈ ℕ, Ai ∈ A → ∪_i∈ℕ Ai ∈ A.

Una classe additiva è quindi un sottoinsieme dell’insieme delle parti di Ω che risulta chiuso rispetto alle operazioni di complemento e di unione numerabile. Inoltre, per le leggi di De Morgan ∀i ∈ ℕ, Ai ∈ A → ⋂_i∈ℕ Ai = (⋃_i∈ℕ Āi) ∈ A.

Assiomi della probabilità

Dati uno spazio campione Ω e una classe additiva (σ-algebra) A di eventi su Ω, una funzione P : A → [0,1] è detta funzione di probabilità, se valgono i seguenti assiomi:

∀A &isi