Analisi probabilistica di giochi: insegnamento delle probabilità nel contesto scolastico

Scuola Interuniversitaria Lombarda di Specializzazione

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per l’Insegnamento Secondario Sezione di Milano

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VII Ciclo Indirizzo Fisico-Informatico-Matematico

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Classe di abilitazione 47 Matematica

Analisi probabilistica di giochi

Relatore-Tutor: Prof. Bruno BETRÒ

Supervisore: Prof.ssa Nadia MORETTI Relazione Finale di Tirocinio di:

Domenico Roberto IANNIZZI

Matricola: Y03596

S

OMMARIO

Introduzione…………………………………………………………….2

Presentazione del contesto e analisi dell’esperienza di tirocinio.………3

Prerequisiti……………………………………………………………...4

Contenuti: presentazione delle lezioni………………………………….5

Impariamo a contare

……………………………………………………………………...5

Probabilità di eventi……………………………………………………………………...5

Calcolo combinatorio…………………………………………………………………….8

Modelli probabilistici…………………………………………………………..9

Probabilità condizionata e indipendenza………………………………………………....9

Variabili aleatorie discrete e loro distribuzione…………………………………………10

Valore atteso…………………………………………………………………………….11

Probabilità e giochi……………………………………………………………13

Calcolo di probabilità nei giochi: lotto, superenalotto, dadi, roulette…………………..13

Quote e guadagno probabile…………………………………………………………….13

Giochi equi/iniqui……………………………………………………………………….14

Sistemi/strategia di gioco……………………………………………………………….14

Legge dei grandi numeri e giochi……………………………………………………….14

Verifica dell’apprendimento…………………………………………..16

Conclusioni e analisi critica dell’esperienza…………………………..16

Appendici……………………………………………………………...17

Appendice A – Dispense………………………………………………….17

Appendice B – Soluzioni degli esercizi…………………………………..50

Appendice C – Verifica…………………………………………………...55

Bibliografia……………………………………………………………58

1

Introduzione

Il lavoro qui presentato è il frutto dell’attività di tirocinio da me svolta, nell’ambito della Scuola

Interuniversitaria Lombarda per l’Insegnamento Secondario - Sezione di Milano (SILSIS-MI),

presso il Liceo Scientifico Statale “Bertrand Russell” di Milano, classe V B (bilingue). Tale attività

consiste in un’esperienza attiva di insegnamento riguardante l’introduzione al Calcolo delle

Probabilità utilizzato per analizzare le situazioni di incertezza, in particolare i giochi cosiddetti

d’azzardo.

L’idea di proporre tale argomento è scaturita, dopo un’attenta attività di osservazione della classe,

dalla programmazione curriculare, dal contesto scolastico ed anche da un giusto confronto con

l’insegnante accogliente grazie alla splendida esperienza di grande collaborazione dovuta alla sua

disponibilità e in particolare al suo metodo di insegnamento: dialogico comunicativo attraverso il

quale discutere e proporre problemi da risolvere come casi di studio, metodologia che ho adottato

durante il mio intervento attivo.

L’argomento è stato poi realmente preso in considerazione insieme all’insegnante accogliente a

seguito dell’indagine sulla tendenza rispetto alla scelta universitaria: Economia e Commercio,

Scienze della Comunicazione, e in generale facoltà che prevedono un corso introduttivo al Calcolo

delle Probabilità già al I anno, al fine di fornire un’adeguata panoramica dell’argomento che spesso,

per mancanza di tempo, viene un po’ trascurato nel programma curriculare, stimolando anche la

curiosità degli allievi in proposito. 1

Lo sviluppo del progetto è stato articolato in 5 ore di incontri durante i quali sono stati affrontati

anche degli esempi proposti come esercizi/problemi da risolvere inerenti agli argomenti trattati

durante la lezione. Al termine della prima lezione ho fornito agli studenti gli appunti della stessa

con i relativi esercizi e l’analogo per la lezione successiva. Dalla seconda lezione in poi ho fornito

2

alla fine di ogni intervento le dispense relative alla successiva lezione. Abbiamo adottato questa

strategia per verificare il livello di attenzione alla prima lezione e per fornire, a più volenterosi, la

possibilità di effettuare una lettura individuale prima della spiegazione in modo che gli studenti

potessero testare la propria capacità di comprensione di un testo scritto. Questa metodologia ha

stimolato, in quasi tutti gli allievi, la curiosità di effettuare questa pre-lettura. Le lezioni sono,

quindi, state sempre più partecipate e più scorrevoli.

Alla fine, per verificare l’apprendimento dei concetti fondamentali (calcolo combinatorio,

probabilità condizionata ed indipendenza e legge dei grandi numeri), è stata somministrata una

prova sotto forma di test a risposta multipla (tempo concesso un’ora di lezione).

La verifica ha dato risultati mediamente discreti.

1 La durata di un’ora di lezione è di 55 minuti.

2 Le dispense con gli appunti e gli esercizi si trovano in Appendice A, le soluzioni degli esercizi in Appendice B. 2

Presentazione del contesto e analisi dell’esperienza di tirocinio

La classe V B è composta da 15 studenti contro i 14 dell’anno precedente e le dinamiche

relazionali/comportamentali sostanzialmente non si sono modificate. La classe si dimostra

collaborativa, anche se i risultati in matematica sono solo mediamente sufficienti. Si evidenziano tre

allievi con particolare attitudine per la materia. Ad alcuni gioverebbe un maggior impegno di studio

domestico, come mi conferma la docente accogliente. Il livello di attenzione in classe è buono e la

lezione è sempre partecipata soprattutto grazie alle capacità coinvolgenti della docente accogliente

che crea sempre un clima sereno. Durante le mie lezioni ho riscontrato proprio questi aspetti, infatti

gli alunni si sono dimostrati attenti, propositivi e interessati all’argomento da me presentato, in

particolare alcuni hanno sopperito con l’intuizione alle carenze di base.

La presenza in aula, in qualità di tirocinante, è stata per me di grande importanza, poiché mi ha

consentito di tradurre in pratica le competenze apprese in via teorica. Ho avuto modo così di

constatare quanta ricaduta positiva sull’intero sistema scolastico abbiano avuto le riforme varate

dagli anni Settanta in poi perché è reale e palpabile un grande rispetto per l’alunno, posto al centro

del sistema scolastico e considerato soggetto attivo dell’apprendimento, e l’insegnante ha il compito

di stimolare e mettere in condizioni di studiare serenamente.

La sede del Liceo Scientifico Statale “Bertrand Russell”, situato nella zona di Niguarda a nord di

Milano, è una struttura moderna, funzionale, che consente un facile accesso anche ai disabili motori,

in cui sono presenti i laboratori di: Fisica, Informatica, Lingue, Scienze e Chimica. Il corpo docente

è stabile e la scuola è molto attenta alle problematiche degli studenti e al rapporto scuola-famiglia.

L’identità culturale del Liceo si fonda su un curriculum di studi che valorizza il sapere umanistico e

insieme quello scientifico, integrato dalle sperimentazioni dell’informatica, della doppia lingua

straniera e della sperimentazione di scienze a indirizzo biomedico. La scuola sostiene il progetto

“Scuola in Ospedale” presso l‘ospedale di Niguarda a sostegno dei giovani degenti in età scolare

ricoverati nel reparto “Unità Spinale”.

Sono stato personalmente coinvolto in questo progetto e ho effettuato un intervento con un ragazzo

ricoverato (15 incontri). Ho vissuto questa esperienza all’inizio con un po’ apprensione ma poi con

un grande coinvolgimento anche emotivo e spero di portarla avanti in futuro. 3

Prerequisiti

L’insegnante accogliente mi ha chiesto preventivamente, all’inizio dell’a.s. 2006-2007, di

esplicitare quali fossero i prerequisiti necessari alla comprensione dell’argomento trattato durante il

mio intervento attivo, assumendosi il compito di trattare in classe gli argomenti propedeutici senza

alterare il programma curriculare in modo tale da poter integrare il più possibile le mie lezioni agli

argomenti precedentemente svolti.

Dopo la presentazione dei seguenti prerequisiti:

• insiemistica: operazioni sugli insiemi e relative proprietà;

• logica: connettivi e relative proprietà, tavole di verità;

• calcolo algebrico;

• sviluppo della potenza di un binomio: Triangolo di Tartaglia;

• limiti di successioni;

• limiti di funzioni;

• studio di funzioni a variabile reale;

• avere la buona abitudine di usare prima la testa (intuito e ragionamento);

• essere capaci di stupirsi e aver voglia di capire di fronte a risultati non sempre intuitivi;

l’insegnante accogliente mi ha rassicurato riguardo alla conoscenza da parte degli studenti dei primi

quattro prerequisiti, affrontati e studiati nei precedenti anni. Per quanto riguarda i limiti e lo studio

di funzioni, invece mi ha detto che sarebbero stati argomenti del primo quadrimestre della quinta.

Infine per quanto riguarda l’attitudine al ragionamento, la capacità e la voglia di confrontarsi con

problematicità non del tutto intuitive mi ha confortato perché la classe è partecipe alle iniziative e al

confronto. Quindi, dopo un attento e cordiale confronto, si è deciso di proporre il mio intervento tra

la fine di gennaio e l’inizio febbraio 2007 e così è stato. 4

Contenuti: presentazione delle lezioni

Impariamo a contare (Lezione del 20 /01/2007 - I ora)

Obiettivi della lezione

• Introduzione al concetto di: esperimento aleatorio, evento e probabilità.

• Individuare la natura di un evento.

• Valutare le probabilità di un evento in base alla teoria classica.

• Conoscere la legge empirica del caso e le implicazioni di carattere applicativo a essa

connesse.

• Valutare le probabilità di un evento in base alla teoria frequentista.

• Conoscere il significato di probabilità soggettiva.

• Capire le esigenze che portano alla formalizzazione di una teoria assiomatica della

probabilità.

• Saper calcolare la probabilità: dell’evento contrario, unione di eventi.

• Riconoscere la natura dei raggruppamenti che si possono fare con n oggetti.

• Determinare il numero di permutazioni,disposizioni, combinazioni semplici o con

ripetizioni.

Probabilità di eventi

La lezione è iniziata con la presentazione delle lezioni e con un’introduzione anche storica del

concetto di probabilità. Introduzione. Cos’è la probabilità?

•

Eventi incerti misura dell’incertezza.

• Calcolo delle Probabilità = teoria matematica dell’incertezza.

• Definizione di probabilità che ne rispecchi il significato intuitivo e allo stesso tempo sia

“operativa” dare regole di calcolo.

Cenni storici

• Calcolo delle probabilità sconosciuto al mondo antico per assenza metodo sperimentale.

• Rinascimento: Cardano (1526 ca) prima trattazione della probabilità: calcolo della

probabilità della somma di tre dadi, problema ripreso poi da Galileo.

• Nascita del calcolo delle probabilità attribuita alla corrispondenza (1654) tra Pascal e

Fermat.

• Interesse di Pascal attivato da un giocatore d’azzardo dell’epoca, de Mèrè, che lamentava

discrepanza tra suoi calcoli e la frequenza dei risultati (a lui sfavorevole).

• Paternità di Pascal contestata, ma Pascal compie primi studi sistematici.

• Contrasto con impostazione di Cartesio, alla base del determinismo, ormai abbandonato

dalla scienza moderna.

• Nato come teoria matematica dei giochi, il Calcolo delle probabilità crebbe

progressivamente di importanza.

• Laplace (1812): “E’ notevole il fatto che una scienza che è iniziata con l’analisi dei giochi

d’azzardo dovesse essere elevata al rango dei più importanti oggetti della conoscenza

umana.”

• Grande sviluppo teorico nel XX secolo.

• Kolmogorov (1933): approccio assiomatico che ancora oggi ne costituisce il fondamento. 5

• Applicazioni del Calcolo delle probabilità oggi presenti in ogni ramo della scienza, nella

tecnologia, nella finanza.

• Fine della visione newtoniana della fisica e avvento della fisica quantistica hanno dimostrato

l’impossibilità di fare previsioni esatte in ogni circostanza: il principio di indeterminazione

di Heisenberg (1927) afferma che non è possibile conoscere simultaneamente la posizione e

la velocità di un dato oggetto con precisione arbitraria.

• Nel secolo XX grande sviluppo della Statistica, “braccio operativo”, della probabilità: studia

sostanzialmente come combinare le probabilità che misurano l’incertezza relativa ad un

certo fenomeno con osservazioni sperimentali del fenomeno stesso.

• Modello probabilistico: modello matematico che descrive la realtà in modo approssimato

(astrazione) e valido temporaneamente.

Eventi aleatori

Con esempi pratici ho introdotto i concetti di: esperimento aleatorio, evento elementare e spazio

3

campionario, di cui, dopo, sono state date anche le definizioni .

Lanciando un dado non sappiamo a priori che numero uscirà, però sappiamo che i casi possibili

sono 6 (“esce 1”, “esce 2”, ..) e in mancanza di altre informazioni, cioè supponendo che il dado non

sia truccato, stimiamo che ognuno di questi casi abbia probabilità uguale a quella degli altri, perciò

pari a 1/6.

Allo stesso modo se lanciamo una moneta i casi possibili sono due (testa, croce), ciascuno con

probabilità 1/2.

Questi sono esempi di esperimenti aleatori (casuali), cioè esperimenti di cui non si conosce l’esito,

che dipende dal “caso” (“aleatorio” significa “casuale” e deriva dal latino “alea” che significa

“dado” ... ricordate Cesare quando diceva: “Alea iacta est”?).

Ho presentato ulteriori esempi di esperimenti aleatori, sottolineando che in tutti casi presentati non è

noto l’esito, ma sappiamo quali sono i casi possibili e che impareremo a calcolare la probabilità di

ciascuno di essi.

Mi è stata posta la seguente domanda: “Tra possibile e probabile c’è o non c’è differenza?” La

domanda era plausibile perché ho usato entrambi i termini e di solito questi vengono adoperati nel

linguaggio comune come sinonimi. Ho risposto che vi è differenza, infatti: “E’ possibile che domani

piova, ma non è probabile!”

Ho trattato solo il caso in cui lo spazio campionario è discreto, perché gli studenti non avevano

ancora gli strumenti necessari per le difficoltà matematiche che presenta il caso continuo.

Ho evidenziato il fatto che i sottoinsiemi dello spazio campionario hanno un ruolo importante: certi

sottoinsiemi hanno specifici significati dal punto di vista degli eventi (