Lezione 8, Controlli Digitali

Lezione 8 25‐10‐2007

Schema di controllo digitale

In uno schema di controllo digitale per interfacciare il controllore digitale (o parte discreta) con il processo (o parte tipicamente continua) c’è bisogno di:

• Un campionatore o convertitore analogico/digitale (ADC);
• Un mantenitore o convertitore digitale/analogico o (DAC).

Campionamento e ricostruzione del segnale

Consideriamo un generico segnale di x(t) in ingresso alla cascata ADC e DACx t.

Idealmente, si vorrebbe che l’uscita sia un segnale ricostruito identico al segnale in ingressox t x t x tovvero . tx con lo stesso contenuto.

Nella realtà invece si ottiene in uscita un segnale ricostruitox tinformativo del segnale originario .

Quindi si è disposti a sopportare una perdita di informazioni, inevitabile durante l’operazione di1 x t, purché il segnale ricostruito contenga le informazioni necessarie adcampionamento x tapprossimare il segnale di ingresso in maniera sufficientemente accurata e tale da permettereche il sistema possa essere controllato!

Campionatore o convertitore analogico/digitale (ADC)

Tipicamente il convertitore analogico/digitale è un semplice campionatore che fornisce in uscita lae kT e tsequenza di campioni associata al segnale tempo continuo .

Per il campionatore è possibile individuare alcuni parametri fondamentali ed in particolare:

• Sec‐ tempo di campionamento T o che indica di quanto è distanziato nel tempo un campione da quello successivo.
• Hz‐ frequenza di campionamento ;2‐ pulsazione di campionamento .

1 x t TIl campionatore cattura dei campioni del segnale di ingresso con un intervallo di tempo , opportunamentex tscelto, per cui è evidente che questa operazione fa perdere delle informazioni sul segnale originario cioè tutte leinformazioni presenti tra un campione e l’altro! 1

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Mantenitore o convertitore digitale/analogico o (DAC)

Tipicamente il convertitore digitale/analogico è comunemente chiamato ricostruttore ed ha ilu kTcompito si trasformare il segnale a tempo discreto nel segnale tempo continuo u(t).

Ne esistono di vari tipi da quelli più semplici (a basse prestazioni) a quelli più complessi (aprestazioni decisamente migliori). Come al solito bisogna trovare un compromesso tra lacomplessità degli strumenti che si utilizzano e le prestazioni richieste.

Anche per il mantenitore è possibile individuare alcuni parametri fondamentali ed in particolare:

• Sec‐ il tempo di mantenimento T o ;1 Hzfrequenza di mantenimento ;
• 2‐ pulsazione di mantenimento .

Il ricostruttore di ordine zero

Il ricostruttore di ordine zero o ZOH è il più semplice ricostruttore possibile ed è così chiamatokTperché approssima l’andamento del segnale tra un campione ( ) e l’altro (all’istante all’istantek 1 T) con una funzione lineare di ordine zero (ovvero una costante).

x kTConsideriamo sequenza di campioni a lato.

x kTPurtroppo dalla sola sequenza di campioninon siamo in grado di stabilire cosa ci sia tra unkTcampione ( ) e l’altro (all’istante all’istantek 1 T): in generale potrebbero essercix tinfinite funzioni associate alla stessa sequenzax kTdi campioni!

Nell’incertezza il comportamento più semplice chesi può attuare consiste nel mantenere l’uscita perk 1 T al valore del campione ricevutokT.all’istante.

Di conseguenza, come mostrato a lato, il risultatodello ZOH è una sommatoria di gradini tale per cui iltsegnale ricostruito si può riscrivere come:

10dove

• È la funzione gradino ritardata di ;
• 1 1è la successiva funzione gradino ritardata di ;
• 1 è la finestra unitaria descritta come differenza di due gradini o1che si attiva nell’istante e termina nell’istante .anche come un gradino
• X kTè l’ampiezza di ciascuna finestra appena definita.

In termini di schema a blocchi l’operazione dix tricostruzione del segnale può essere tradotta con loschema reale a lato 2

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Ritorniamo alla relazione fondamentale 10.

Valutandone la trasformata di Laplace o si ottiene una combinazione lineare die 1trasformate di Laplace del gradino traslatoladdove i coefficienti moltiplicativi restano ancora i campioni0.

Ordiniamo mettendo il evidenza il termine10.

Si noti che il termine‐ coincide proprio con la trasformata di Laplace della prima finestra unitaria (quella tra 0 e T)cioè che è la parte comune e traslata per ogni campione!

‐ è indipendente da , per cui può essere portata fuori dal segno di sommatoria.1 0

La trasformata di Laplace del segnale continuo può essere espressa come prodotto tra lee così definite:funzioni

• Cioè la trasformata di Laplace della prima finestra...;
• ∑ cioè una combinazione lineare di infiniti termini esponenziali in‐ a sua volta funzione dellafunzione di s pari alla trasformata di Laplace di un segnalesequenza di campioni!

Questa importante relazione ci dice che nell’ipotesi incui il DAC sia un sistema dinamico la cui funzione ditrasferimento è allora lo schema realex tricostruzione del segnale lo si può interpretarecome un schema equivalente in s laddove è ilsegnale di uscita ed è il segnale in ingresso.

Antitrasformando il segnale otteniamo il segnale a tempo continuo associato alsegnale campionato .

Questo risultato è molto importante perché permette di non lavorare nel tempo discreto k o neldominio di transizione z bensì di lavorare nel continuo t e dunque nel dominio di transizione s. 3

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Notiamo che la funzione di trasferimento dello ZOH oltre ad avere una sua dinamica, dovuta allapresenza del polo nell’origine, presenta anche un ritardo che incide sulla catena di andata e che èquindi uno degli aspetti più importanti dei controlli digitali!

In pratica accade che riusciamo a ricostruire con una certa approssimazione il segnale originarioma inseriamo inevitabilmente un ritardo tanto più elevato quanto più gra