Lezione 3, Controlli Digitali

Lezione 3 08‐10‐2007

Proprietà della Z‐trasformata

1. Linearità

La Z‐trasformata è un operatore lineare.

Infatti data una sequenza quale combinazione lineare delle sequenze e allora la Z‐trasformata è la combinazione lineare delle Z‐trasformate e G, cioè le Z‐trasformate delle singole sequenze componenti a b aF z bG z.

Dimostrazione

a b a b Per la proprietà di linearità della sommatoria possiamo riscrivere a b.

Portiamo fuori dalle rispettive sommatorie le costanti a e b poiché non dipendono da k.

Per la definizione di Z‐trasformata si ha a b aF z bG z.

2. Moltiplicazione per

Consideriamo la sequenza e indichiamo la sua Z‐trasformata con.

Vogliamo vedere a cosa corrisponde la Z‐trasformata cioè la Z‐trasformata della (con a una costante diversa da 0).

Sequenza se moltiplicata per la sequenza lo possiamo riscrivere come.

In pratica la Z‐trasformata non è funzione solo di z ma anche di. 1

3. Teorema della traslazione nel tempo

Ritardo

Consideriamo la sequenza e indichiamo la sua Z‐trasformata con.

Vogliamo vedere a cosa corrisponde la Z‐trasformata, cioè la Z‐trasformata della sequenza ritardata nel tempo discreto k di n passi, per poi metterla in relazione con la Z‐trasformata che si suppone di conoscere già.

Moltiplichiamo e dividiamo per.

Portiamo fuori dalla sommatoria il termine poiché non dipende da k.

Effettuiamo un cambio di variabile imponendo per cui la sommatoria andrà da 0) ∞ ∞)( con a ( con 0 0 ∞.

La sequenza è nulla per per cui la la sommatoria andrà da a∑ ∑.

La imponendo è equivalente a.

Ricapitolando se effettuiamo una traslazione nel tempo discreto k della sequenza, in particolare la spostiamo in avanti di n campioni, allora la Z‐trasformata è semplicemente la Z‐trasformata moltiplicata per il fattore di ritardo (tiene traccia di quanto si sta ritardando la sequenza).

Graficamente: avanti x(k) x(k‐n)T nT 2

Anticipo

Consideriamo la sequenza e indichiamo la sua Z‐trasformata con.

Vogliamo vedere a cosa corrisponde la Z‐trasformata, cioè la Z‐trasformata con la della sequenza anticipata nel tempo discreto k di n passi, per poi metterla in relazione Z‐trasformata che si suppone di conoscere già.

Moltiplichiamo e dividiamo per.

Portiamo fuori dalla sommatoria il termine poiché non dipende da k.

Effettuiamo un cambio di variabile imponendo per cui la sommatoria andrà da 0) ∞ ∞)( con a ( con∑.

La somiglia alla Z‐trasformata della sequenza, cioè∑ 1!, ma manca dei campioni da 0 a ∑.

Quindi sommiamo e sottraiamo i “campioni mancanti”, cioè∑ ∑.

La imponendo è equivalente a.

Ricapitolando se effettuiamo una traslazione nel tempo discreto k della sequenza, in particolare la spostiamo indietro di n campioni, allora la Z‐trasformata è semplicemente la Z‐trasformata moltiplicata per il fattore di a (tiene traccia di 1 quanto si sta anticipando la sequenza) meno una certa quantità (compensa gli campioni persi durante la traslazione o attraversamento dell’origine degli assi). 3

Graficamente: indietro x(k) x(k+n)T nT

4. Teorema del valore iniziale

Consideriamo la sequenza e indichiamo la sua Z‐trasformata con.

Nota la Z‐trasformata nel dominio della variabile complessa z, il teorema del valore iniziale consente di conoscere il valore iniziale della sequenza nel dominio del tempo discreto k, senza praticare la Z‐antitrasformata.

Chiaramente questo teorema si può sempre applicare perché la sequenza avrà sempre un “punto al finito” o campione iniziale da cui parte!

lim 0 lim ∞

Dimostrazione

0 1 2 0 1 2 ∞

Pratichiamo ambo i membri il limite per z che tende a lim lim 0 1 2.

Per la proprietà di linearità dei limiti, il “limite della somma” equivale alla “somma dei limiti” lim lim 0 lim 1 lim 2 ∞.

Il limite per z che tende a fa sì che i termini convergano a 0 lim lim 0 0. 4

5. Teorema del valore finale

Consideriamo la sequenza e indichiamo la sua Z‐trasformata con.

Nota la Z‐trasformata nel dominio della variabile complessa z, il teorema del valore finale nel dominio del tempo consente di conoscere il valore finale o di regime della sequenza discreto k, senza praticare la Z‐antitrasformata.

Chiaramente questo teorema ha senso se e solo se la sequenza sia convergente cioè abbia tutti i moti di evoluzione asintoticamente stabili ovvero una Z‐trasformata con tutti poli 1 all’interno del cerchio di raggio unitario e al più un polo semplice per.

lim ∞ lim 1

Dimostrazione

Per definizione la Z‐trasformata è.

Dal teorema della traslazione nel tempo con riferimento al ritardo la 1 Z‐trasformata è 1.

Per la proprietà di linearità sottraendo le due espressioni precedenti si ha 11 1 1.

Pratichiamo ambo i membri il limite per z che tende a lim 1 lim 1.

Al secondo membro il limite per z che tende a 1 fa sì che gli valgano 1 per ogni valore di k lim 1 1.