Lezione 5, Controlli Digitali

Lezione 5 15‐10‐2007

La z‐antitrasformata

In analogia al “dominio della s” anche il “dominio della z” è un cosiddetto “dominio di transizione” laddove si semplificano i calcoli per ottenere dei risultati che facilmente si possono riportare rispettivamente nel “dominio del tempo continuo” o “dominio del tempo discreto”.

Ci interessiamo ora proprio alla “antitrasformata” cioè una “corrispondenza biunivoca” tale che data una Z‐trasformata esiste ed è unica la sequenza associata: .

Prima di tutto ricordiamo che la Z‐trasformata è genericamente una funzione razionale fratta o rapporto di polinomi con del tipo: Forma z‐positive.

Dividiamo numeratore e denominatore per Forma1 Z‐negative Forma.

Detti e rispettivamente zeri e poli reali o complessi e coniugati poli e zeri ∏∏ 1

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Metodi per la z‐antitrasformata

1. Metodo della lunga divisione

E’ un metodo che può essere utilizzato quando antitrasformando la Z‐trasformata non interessa conoscere tutta la sequenza x(k) ma solo un numero finito e relativamente piccolo di campioni (“…tipicamente, vista la laboriosità, 3 o 4 campioni”).

Il punto di partenza è l’analisi delle possibili forme in cui si può presentare la Z‐trasformata: 20

Se realizzassimo la “divisione tra polinomi” allora otterremmo come risultato un ulteriore forma della Z‐trasformata cioè la forma di un unico polinomio i cui termini sono genericamente 0,1,2, … ovvero coefficienti che, essendo , sono moltiplicati per “potenze ” ad esponente nullo o negativo:

A questo punto confrontiamo la Z‐trasformata nella forma di sommatoria esplosa e la Z‐trasformata nella forma di un unico polinomio: 0 2

Dall’uguaglianza di polinomi è evidente che i coefficienti sono proprio i campioni della sequenza x(k) cercata con la Z‐antitrasformata: 0 2 … 2

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Esempio: Metodo della lunga divisione

3 31 1 21 0.5 1 0.531 0.5 0.5 2

Ordiniamo il denominatore secondo potenze di z decrescenti e otteniamo la “forma z‐negative” 31 2.5 2 0.5

Portiamo in evidenza e otteniamo la “forma z‐positive” 32.5 2 0.5

Per trovare la sequenza associata alla Z‐trasformata assegnata, procediamo con il “metodo della lunga divisione”:

3 2.5 2 0.5 3 7.5 6 1.5 3 7.5 12.750 7.5 6 1.5 0 37.5 18.75 15 3.75 1 7.52 12.750 12.75 13.5 3.75

Pertanto si reitera per calcolare i coefficienti a cui si è interessati della sequenza .

In generale dalla “divisione di polinomi”, a meno che il dividendo non sia multiplo o sottomultiplo del divisore, si ottiene un polinomio, sempre rappresentativo della Z‐trasformata, che tipicamente 0,1,2, … termini e che quindi può essere riscritto come sommatoria di termini ha infiniti laddove i coefficienti sono proprio i campioni della sequenza che stiamo cercando nota la Z‐trasformata.

Osservazione: Nota la Z‐trasformata come conoscere il primo campione della sequenza ?

E’ sufficiente applicare il teorema del valore iniziale! 3

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2. Metodo computazionale

E’ il metodo che serve per individuare un algoritmo capace di calcolare in maniera ricorsiva i campioni della sequenza ed in generale il k‐esimo campione in funzione dei campioni precedenti.

Questa soluzione &egra