Legge gravitazionale di Newton

Legge gravitazionale di Newton e flusso di e - legge di Gauss

Legge di Gauss per la gravitazione

La "legge di Gauss per la gravitazione" è: ¹/^4πG Φ_g = ¹/^4πG ∫_S g⃗ × n⃗ · dS = m dove m è la massa racchiusa dalla superficie e G la costante universale di gravitazione.

Derivare da questa la legge gravitazionale di Newton. Osserviamo che il flusso è una proprietà di ogni campo vettoriale e che esso si riferisce sempre ad un'ipotetica superficie che può essere chiusa o aperta. Sono evidenti le analogie fra il campo elettrico e il campo gravitazionale.

Caratteristiche dei campi vettoriali

Caratteristiche di questi campi vettoriali sono rispettivamente: il vettore intensità campo elettrico E che esprime la forza che viene esercitata dal campo sulla carica unitaria positiva: E = F/q; ed il vettore intensità campo gravitazionale g⁡ che esprime la forza che viene esercitata dal campo sulla massa unitaria: g = F/m.

Come nel campo elettrico vale il teorema di Gauss espresso nella forma: ε₀ΦE = ε₀ ∮ E⋅n dS = qcosì, analogamente, nel campo gravitazionale vale l’eguaglianza data dal testo.

Applicazione del teorema di Gauss alla Terra

Applichiamo dunque questo "teorema di Gauss per la gravitazione" ad una particolare superficie chiusa, quella della Terra per esempio, che racchiude una certa massa M di materia soggetto al campo gravitazionale. Se Rᵉ è il raggio terrestre, la superficie terrestre è 4πRᵉ².

Allora 1/4πG ∮(S) gcos0°dS = M; 1/4πG ⋅ gₑ4πRᵉ² = M; gₑRᵉ²/G = Mgₑ = G M/Rᵉ² e moltiplicando.