L’angolo aureo in un problema di massimo e minimo

L’angolo aureo in un problema di massimo e minimo

L’obiettivo di questo breve lavoro è quello di illustrare, partendo da una configurazione geometrica relativamente semplice, il comportamento di una particolare funzione goniometrica soprattutto nei suoi punti di massimo relativo.

=

AB r

2

Problema

Si consideri una circonferenza di centro O e diametro . Si calcolino le posizioni

ˆ

B

O H

del punto P (l’ampiezza dell’angolo ) affinché la circonferenza inscritta nel triangolo POB abbia area massima.

P H

J Q

x B

A K

O

Impostiamo ora la risoluzione del problema facendo riferimento alla figura sopra:

=

OB r

=

HB r sin x (per i teoremi sui triangoli rettangoli)

= =

KB HB r sin x (perché tangenti da un punto esterno ad una circonferenza)

( )

= − = − = −

OK OB KB r r sin x r sin x

1

( )

= = −

KQ OK tan x r sin x tan x

1 (per i teoremi sui triangoli rettangoli)