Lancio di una pallina

Lancio di una pallina

Introduzione

Una molla lancia verticalmente verso l'alto una pallina di massa m = 25 g. Calcolare di quanto è stata compressa la molla sapendo che la sua costante elastica vale k = 90 N/m e che la pallina raggiunge un'altezza h = 40 cm. Per risolvere questo esercizio conviene utilizzare la conservazione dell'energia meccanica.

Stati iniziale e finale

Scegliamo come stato iniziale quello in cui la molla è compressa e la pallina è in quiete appoggiata su di essa. Come stato finale prendiamo quello in cui la pallina ha raggiunto la massima altezza e possiede quindi velocità nulla (infatti in quel punto si ha inversione di velocità).

Energia meccanica

Nello stato iniziale, denotato con pedice 1, l'energia meccanica si scrive:

E₁ = K₁ + U₁

dove K è l'energia cinetica e U l'energia potenziale (in questo caso somma di energia potenziale gravitazionale e elastica). L'energia cinetica nello stato iniziale è nulla così come anche nello stato finale, come anticipato, cioè:

K₁ = K₂ = 0

Energia potenziale

L'energia potenziale nello stato iniziale vale:

U₁ = mgh₁ + \(\frac{1}{2}\)kΔx²

dove (\Delta x) indica di quanto è compressa la molla, mentre il primo addendo a secondo membro rappresenta l'energia potenziale gravitazionale, essendo h₁ la quota a cui si trova la pallina nello stato iniziale, e il secondo addendo rappresenta l'energia potenziale elastica.

Nello stato finale si ha semplicemente:

U₂ = mgh₂

Conservazione dell'energia meccanica

L'altezza h = 40 cm fornita dal testo rappresenta la variazione di altezza dallo stato iniziale a quello finale, cioè h = h₂ - h₁, pertanto dalla conservazione dell'energia meccanica possiamo scrivere:

E₁ = E₂

cioè:

U₁ = U₂

da cui:

mgh₁ + \(\frac{1}{2}\)kΔx² = mgh₂

e, per quanto detto finora,

\(\frac{1}{2}\)kΔx² = mg(h₂ – h₁) = mgh

Calcolo della compressione della molla

Ricaviamo \(\Delta x\):

Δx² = \(\frac{2mgh}{k}\)

Δx = \(\sqrt{\frac{2mgh}{k}}\)

Sostituendo i numeri forniti si ottiene:

Δx = \(\sqrt{\frac{2 \cdot 0.025 \cdot 9.81 \cdot 0.4}{90}}\) = 0.047 m

Infatti la massa va convertita in unità del SI, cioè in kg, m = 25 g = 0.025 kg. Analogamente l'altezza va convertita in m.