La trisettrice di Ippia

La trisettrice di Ippia

di Arnaldo Vicentini e Nazario Magnarelli

È dato un quadrato ABCD, di lato AB = a. Il vertice A coincide con l’origine di un riferimento cartesiano Axy e i vertici B e D cadono rispettivamente sugli assi x e y del riferimento.

Facciamo traslare in modo uniforme il segmento DC fino a farlo coincidere con il lato AB e nello stesso tempo facciamo ruotare di moto uniforme il lato AD sino a farlo coincidere con lo stesso lato AB. Trovare l’equazione γ del luogo geometrico dei punti di intersezione dei due segmenti durante il loro movimento. Esso è detto trisettrice di Ippia.

(L’enunciato del problema è tratto dal libro “Le curve celebri”, di Luciano Cresci; pag. 9).

Indichiamo anzitutto la costruzione grafica del luogo geometrico (Fig. 1).

y C

a

P

5 u

D I P

4 t 5 a = 9u

P

3 t 4 Fig. 1

Q P

2 t

M 3

R t 2

φ P

1

y S t

N 1 x

H

L α B

A T

K

A partire dal punto A dividiamo il lato AD del quadrato in sei parti uguali e dai punti di divisione conduciamo le parallele al lato AB; indicheremo queste parallele con le lettere t₁, t₂, t₃, t₄, t₅. A partire dal punto B dividiamo poi l’angolo retto BAD, α = 90°, in sei angoli uguali, di ampiezza ciascuno, e 15°.

I punti di intersezione con l’arco BD siano P₁, P₂, P₃, P₄, P₅ di circonferenza.

Preso l’angolo BAP₁ = 15°, sia H la proiezione ortogonale del punto P₁ sull’asse x. KQ = y.

Per la lunghezza del lato del quadrato, si prenda AB = 9u. Il punto P₃ è comune alla circonferenza e alla bisettrice del 1° quadrante; i punti P₂ e P₄ si trovano ricordando che sin 30° = 1/2 e cos 60° = 1/2. Il punto P₁ si trova dividendo l’arco BP₂ in 2 parti uguali.

I punti S, R, Q, ecc. appartengono al luogo geometrico γ:

• S = AP₁ ∩ t₁
• R = AP₂ ∩ t₂
• Q = AP₃ ∩ t₃

In seguito ci farà comodo considerare Q(x, y) come un punto generico del luogo γ.

Eseguendo costruzioni analoghe, possiamo infittire i punti della curva a nostro piacere e quindi possiamo tracciare la nostra curva con l’accuratezza desiderata.

Consideriamo ora un generico punto Q della curva γ; sia y l’ordinata del punto e K la sua proiezione ortogonale sull’asse x, quindi KQ = y.

Poniamo KAQ = φ. Consideriamo ora due triangoli aventi un vertice sulla curva γ ed il lato opposto sull’asse x, es. i triangoli KAQ ed LAI.

Per come abbiamo costruito la curva, si vede che il rapporto fra i lati KQ ed LI è uguale a quello dei corrispondenti angoli opposti. In particolare, quando I → D sussiste la proporzione:

y : a = φ : π/2 (1)

y = 2aφ/π (2).

Consideriamo ora il riferimento polare di polo A e asse polare coincidente con l’asse x. Per il 1° teor. sui triangoli rettangoli, dal triangolo AKQ si ha:

KQ = AQ sin φ, cioè y = ρ sin φ (3).