L'evoluta della parabola

L’evoluta della parabola

Francesco Daddi - settembre 2010

Consideriamo la parabola y = x²; consideriamo il generico punto P(t; t²) e determiniamo il centro del cerchio osculatore in P.

Osservando che il vettore tangente alla parabola in P è (1; 2t), scriviamo l’equazione cartesiana della retta normale in P:

x + 2ty − t − 2t³ = 0;

ora facciamo la stessa cosa per il punto P(t + ε; (t + ε)²) (basta sostituire nella precedente equazione (t + ε) al posto di t):

retta normale in P(t + ε; (t + ε)²):

x + 2(t + ε)y − (t + ε) − 2(t + ε)³ = 0;

intersechiamo ora le due rette normali:

x + 2ty − t − 2t³ = 0

x + 2(t + ε)y − (t + ε) − 2(t + ε)³ = 0

risolvendo ricaviamo le seguenti soluzioni:

C_P,ε:

x = −4t³ − 6t²ε − 2tε²

y = 1/2 + 3t² + 3tε + ε²